数学的帰納法とは？ドミノ倒しでわかる証明の仕組みと手順をわかりやすく解説

数学的帰納法のイメージは「ドミノ倒し」？

佐藤先生

ミライくん、行列を作って順番に並ぶドミノ倒しを想像してみて。最初の一個を倒せば、次から次へとパタパタと倒れていき、最後には何万個あってもすべて倒れるよね。

ミライくん

そうですね！この仕組みさえあれば、たとえ無限に続く列であってもすべて倒れると断言できます。

佐藤先生

その通り。数学の世界でもこれと同じ考え方を使って、「無限に続く数字のルール」を証明する方法があるんだ。それが数学的帰納法だよ。

ミライくん

佐藤先生、数学的帰納法って名前が難しそうです。具体的にどういう時に使うんですか？

佐藤先生

これは「ドミノ倒し証明法」とも言えるね。1番目、2番目、3番目…と無限に続くルールが正しいか調べたいときに使うんだ。やることは2つだけだよ。

1. 最初の一個目が倒れることを確認する。
2. 「もし前が倒れたら次も必ず倒れる」という仕掛けを証明する。

ミライくん

なるほど。一個目が倒れて、次々に倒れる仕掛け（連鎖）があれば、最後まで止まらずに倒れ続けますね！

結論：数学的帰納法の2ステップ

数学的帰納法は、以下の2つのステップで無限の正しさを証明します。

• ステップ1：n=1のときに正しいことを示す（最初のドミノを倒す）。
• ステップ2：n=kで正しいと仮定し、n=k+1でも正しくなることを示す（連鎖する仕組みを作る）。