次数下げとは何か？

つまり、多項式の計算を 簡単に・早く・ミスなく できるようにするための工夫です。
この考え方が使えると、式をそのまま計算するよりもずっと楽に答えが求められます。

📘 次数とは？

まず「次数」という言葉を簡単に説明します。

📌 次数とは、多項式の一番大きな “指数の数” のことです。

• x⁴ + 3x² - 1 → 一番高い指数は 4 → 4次式
• 5x² - 2x + 7 → 一番高い指数は 2 → 2次式
• 3x + 5 → 一番高い指数は 1 → 1次式

この「指数の大きさ（次数）」が大きくなるほど、計算や考察が複雑になります。
そのため、この高い次数を 低くする工夫 が「次数下げ」です。

✏️ 次数下げをする “きっかけ” と “目的”

次数下げを使うのは、こんな場面です：

• ✔ 指定された条件があるとき
• ✔ ルート √ が含まれているとき
• ✔ 計算量を減らしたいとき
• ✔ 多項式を簡単な形で使いたいとき

普通に x⁴ を求めようとすると、何回も掛け算が必要で大変です。
でも条件式をうまく変形すれば、高い次数の部分を低い次数の式で置き換えられるようになります。
これが次数下げの目的です。

🧠 次数下げの基本アイデア

次数下げは、次のどれかを使います：

① 条件式から次数を下げる式をつくる

与えられた条件を変形して、xⁿ を x^n-1 や x と定数で表す式を作る。

👉 x² を x と定数だけで表していることが重要です。

この形があれば、x³, x⁴ も順に計算できます。

🔎 よくある具体例

✏ 例題 1

次の値を求めよ：

x = 1 + √2 のとき、x⁴ の値

Step 1： 条件式を使って低次数の式をつくる

x - 1 = √2 二乗して x² = 2x + 1

Step 2： 次数下げを進める

x³ = 5x + 2
x⁴ = 12x + 5

Step 3： 値を計算する

12(1 + √2) + 5 = 17 + 12√2

✨ まとめ — 次数下げを使うタイミング

• 📍 条件式があるとき
• 📍 ルート √ や複雑な数が含まれているとき
• 📍 多項式の高い次数を低い次数に変えたいとき

📌 「高い次数を、低い次数の式で表し直す」という発想が最重要です。