組み合わせCはなぜこの式？nCrの公式を図と例で完全理解

✅ 最初の結論（ここだけ見ればOK）

異なる n 個のものから k 個を選ぶ方法の数（順番は考えない）は、

nCk = nCk = n! / (k! (n - k)!)

です。

この公式は、まず「順番を考えて全部並べる」そこから「いらない順番の違い」を消すという考え方で作られています。

① まず「選ぶ」とはどういうことかを図で考える

たとえば、次の 5 人 がいるとします。

● A   ● B   ● C   ● D   ● E

ここから 2 人を選ぶ とき、次のような選び方があります。

(A, B)   (A, C)   (A, D)   (A, E)
(B, C)   (B, D)   (B, E)
(C, D)   (C, E)
(D, E)

ここで大事なのは、

(A, B) と (B, A) は同じ

ということです。

👉 順番はどうでもよく、「誰と誰か」だけが大事　これが「組み合わせ」です。

② でも、いきなり組み合わせを数えるのは難しい

そこで数学では、遠回りだけど確実な方法を使います。

それが、

• ① いったん「順番あり」で全部数える
• ② そのあと「順番の違い」を消す

③ Step1：順番ありで数える（順列）

さきほどの 5 人から 2 人を選ぶ場面を、順番ありで考えてみます。

1番目 → 2番目

という形で並べると、

A → B
B → A

は 別もの になります。

図で見るとこうです

A → B
A → C
A → D
A → E

B → A
B → C
B → D
B → E

C → A
C → B
C → D
C → E
...

数で考えると

・1 人目：5 通り
・2 人目：残り 4 通り

5 × 4 = 20 通り

これが 順列 です。

一般の式にすると

n 個から k 個を、順番ありで選ぶと

nPk = n × (n-1) × (n-2) × ...

になります。

④ Step2：「順番のせいで増えすぎた分」を消す

でも、組み合わせでは

A → B
B → A

は同じでしたよね。

つまり、同じ選び方を何回も数えてしまっているのです。

図で確認してみましょう

2 人を選んだ場合、その 2 人の並び方は？

A B
B A

👉 2 通り

これは

2!（2の階乗）

です。

もう少し一般化すると

k 人選んだとき、その並び方は

k! 通り

あります。

だからこう考える

順列の数 ＝ 組み合わせの数 × 並べ方の数

つまり、

nPk = nCk × k!

（※上の式はイメージのための表記です）

両辺を k! で割ると

nCk = nPk ÷ k!

⑤ Step3：順列の式を代入する

順列はこうでしたね。

nPk = n × (n-1) × ... × (n-k+1)

これを代入すると、

nCk = (n × (n-1) × ... × (n-k+1)) ÷ k!

⑥ 階乗を使ってスッキリさせる

ここで 階乗 を使います。

階乗とは？

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

という意味です。

図で見ると

n! は次のように並びます。

n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 1

この中から

(n-k)! = (n-k) × (n-k-1) × … × 1

を消すと、

n × (n-1) × … × (n-k+1)

が残ります。

つまり

n × (n-1) × … × (n-k+1) = n! / (n-k)!

⑦ これを式に戻す

nCk = (n! ÷ (n-k)!) ÷ k! = n! / (k!(n-k)!)

⑧ 公式の意味を図でまとめる

n!        → 全員を順番ありで並べた数
k!        → 選んだ人たちの順番（いらない）
(n-k)!    → 選ばれなかった人たちの順番（いらない）

      n!
──────────────  ← いらない順番を消す
 k! × (n-k)!

👉 「誰を選んだか」だけが残る

🔁 最後の結論（もう一度）

組み合わせとは、

順番を考えずに選ぶ方法の数

であり、その数は

nCk = n! / (k!(n-k)!)

で求められます。

この公式は、順列で数えすぎた分を、図のように丁寧に消した結果なのです。

もし次に進むなら、

• 「なぜ nCk = nCn-k になるのか」
• 図を使った C の大小比較
• 実際の入試問題での使われ方

も、同じレベル感で解説できます。