１の３乗根を基礎から解説｜ωの意味と計算での使い方がよくわかる
25sb3018@student.gs.chiba-u.jp目次
📌 １の３乗根は「計算を整理するための道具」である
１の３乗根は、単に「３回掛けると１になる数」ではありません。
複雑な式を一気に整理し、計算量を減らすための非常に強力な道具です。
この考え方を理解すると、複素数の計算や高次方程式の処理が 「計算」ではなく「整理」で解けるようになります。
ポイントは「掛け算をしないで済ませる」ことです。
🧠 １の３乗根を定義から確認する
「１の３乗根」とは、次の方程式の解のことです。
x3 = 1
これは
x3 - 1 = 0
と変形でき、因数分解すると
(x-1)(x2+x+1)=0
となります。
📌 解は３つ存在する
この式から、解は次の３つであることがわかります。
- x=1
- x=ω
- x=ω2
ここで
ω = (−1 + √3 i) / 2
と定義します。
絶対に使う２つの性質
- ω3 =1
- ω2+ω+1=0
この２つを覚えておけば、ωを含む計算のほとんどは処理できます。
なぜ計算が楽になるのか
たとえば
ω5
を普通に計算しようとすると大変ですが、
ω5=ω2×ω3=ω2
と一瞬で処理できます。
指数は「３で割った余り」だけを見ればよい、という発想が重要です。
式の整理での典型例
次の式を考えます。
ω4 + ω2 + 1
ω4 は ω なので、
ω + ω2 + 1 = 0
となります。
計算をせず、「性質だけ」で答えが出ていることが重要です。
✨ 結論 — １の３乗根を使う本当の意味
１の３乗根は
複雑な計算を省略し、式の構造を見抜くための道具です。
掛け算を繰り返すのではなく、 「ω3 = 1」「ω2 + ω + 1 = 0」に戻す意識を持つことが最大のコツです。
📝 チェック問題（理解度確認）
問題1：ω8 を最も簡単な形で表すと？
指数を 3 で割り、余りだけを見る。
問題2：ω + ω2 の値は？
ω2 + ω + 1 = 0 を利用する。
問題3：1 ÷ ω を簡単にすると？
ω3 = 1 より、ω の逆数は ω2。
数学を「理解できる武器」に変えたい方へ
無料で相談する