先生、 前回二項定理を学習したので、
先生、二項定理そのものは分かるんですけど、 「○番目の項の係数を求めよ」って言われると、急に手が止まります…。

それはよくある悩みだね。 二項定理や組み合わせの知識が足りないというより、 係数に必要な部分だけを正しく取り出せていないことが原因なんだ。

では、次の問題を考えてみよう。

(x + 1)¹⁰⁰ を展開したときの x⁹⁸ の係数を求めよ

100乗ですか……。全部展開するのは無理ですね。

もちろん。 でも、係数だけなら話は別だ。

二項定理では、
(x + 1)¹⁰⁰ の展開は、

100C0 x¹⁰⁰ + 100C1 x⁹⁹ + 100C2 x⁹⁸ + ･･･

あ、x⁹⁸ がもう見えてます。

そう。 この時点で大事なのは、
- x⁹⁸ はどの項か
- その前についている数は何か

この2点だけだ。

今見た通り、x⁹⁸ の前についているのは 100C2 だね。

つまり、係数は ₁₀₀C₂ ということですね。

その通り。
「係数を求めよ」という問題は、
この ₁₀₀C₂ を計算せよと言っているだけなんだ。

₁₀₀C₂ なら以前学習したので計算できます。

₁₀₀C₂ は、
100C2 = (100 × 99) / 2
= 50 × 99
= 4950

したがって、

(x + 1)¹⁰⁰ を展開したときの x⁹⁸ の係数は
4950

思っていたより、ずっとシンプルですね。

そう。係数の問題では、展開する必要は一切ないんだ。

「どこを見ればいいか」がはっきりしました。

それが分かれば、100乗でも200乗でも、やっていることは同じだ。

結論（もう一度）

二項定理の係数問題で大切なのは、
- 全部展開しようとしない
- 欲しい項だけを見る
- その前の nCk を計算する

これだけ。