反復試行の確率を公式暗記なしで理解する｜二項分布の考え方をやさしく解説
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最初に結論
同じ条件の試しを何回も行うとき、
「ある結果がちょうど何回起こるか」という確率は、
並び方の数と、それぞれの起こりやすさを組み合わせて考える。
最初は公式を知らなくても、 「どんな並びがあるか」「それは何通りか」 を丁寧に考えれば答えに近づける。
その考えを整理した結果として、 最後に nCk を使った公式 が自然に現れる。
サッカーの試合前。主審がコインを取り出す
「先生、サッカーの試合前のコイントスって、
毎回、表か裏のどちらかですよね。」
「そうだね。
サッカーのコイントスでは、
必ず表か裏のどちらかが出る。」
「今日は同じスタジアムで、
このあと4試合連続で行われるみたいです。」
「いいね。
じゃあ、そのコイントスを見ていると仮定して、
こんな問題を考えてみよう。」
具体例（最初に置く1題）
問題
4試合分のサッカーのコイントスを見ているとき、 表がちょうど2回出る確率はどれくらいか？
● まずは感覚的に考える
「4回中2回なら、
半分くらいな気がします。」
「その感覚は悪くない。
でも数学では、
“どれくらいか”をはっきりさせたい。」
「じゃあ、どうやって考えればいいんですか？」
● 並びを書き出す
「まずは、
“表が2回出る並び”を全部書いてみよう。」
「えっと……
- 表・表・裏・裏
- 表・裏・表・裏
- 表・裏・裏・表
- 裏・表・表・裏
- 裏・表・裏・表
- 裏・裏・表・表
「いいね。
全部で何通りある？」
「6通りです。」
● 1つ1つの並びの起こりやすさ
「次に考えるのは、
この6通りそれぞれが起こる確率だ。」
「全部同じじゃないんですか？」
「その通り。
コイントスは毎回条件が同じだから、
どの並びも起こりやすさは同じだ。」
「順番が違っても、
表が2回・裏が2回なら同じなんですね。」
● 会話⑤ — 全体の確率の考え方
「そう。
だから全体としては、
- 表が2回出る並びは6通り
- どの並びも同じ確率
つまり
『1つ分の確率 × 6』
で考えればいい。
『1つ分の確率 × 6』
で考えればいい。
「“表が2回出る”って、
中身を分解して考えるんですね。」
● 試合数が増えたら？
「じゃあ、もし10試合分のサッカーのコイントスを見ていて、
表がちょうど4回出る確率を知りたいとしたら？」
「さっきみたいに全部書くのは無理です…」
「そう。
だからここで
“並びの数を一気に数える方法”
が必要になる。」
● 並びの数の正体
「10回のうち、
“どの回が表になるか”を選ぶと考えてみよう。」
「10個の中から4個を選ぶ、ですね。」
「そう。
その選び方の数を
10C4
と書く。」
● 1つの並びの確率
「そして1つの並びでは、
- 表が4回
- 裏が6回
「だから
表の確率を4回分、
裏の確率を6回分、
掛け算するんですね。」
ここまでを整理する
「今までやってきたことを整理すると、
- 何回中、何回その結果が起こるかを見る
- その並びが何通りあるかを考える
- 1つの並びの起こりやすさを考える
- それらをまとめる
「公式を使っていないのに、
ちゃんと答えに近づいてますね。」
ここで初めて公式が登場
● 考えを式にまとめると？
「この考え方を、
毎回使える形にまとめたものが、
次の式だ。」
P(ある結果が k 回起こる)
= nCk · pk · (1−p)n−k
「今まで考えてきたことが、
そのまま式になってますね。」
「そう。
この公式は、
考え方を短く書いたメモみたいなものだ。」
まとめ
反復試行の確率は、
同じ条件の試しを何回も行ったとき、
ある結果がちょうど何回起こるかを考える問題である。
その本質は、
- 並び方はいくつあるか
- 1つ1つはどれくらい起こりやすいか
を組み合わせて考えること。
という形が自然に現れる。
公式は出発点ではなく、到着点。 この感覚が身につけば、 反復試行の確率は確実に理解できている。
チェック問題（選択すると即時判定・不正解時にワンポイント）
問題1： 4回のサッカーのコイントスで表がちょうど2回出る並びの数はいくつ？
問題2： 10回のコイントスで表が4回・裏が6回起こる「1つの並び」の確率を p を用いてどう表す？
問題3： 反復試行の確率で「全体の確率」を求めるときに掛け合わせるのはどれとどれ？
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