【数学基礎】等式の証明の仕方をわかりやすく解説！3つの必勝パターンでパズルを解こう

左右のバランスを整える知恵

学校のテストで「次の等式を証明せよ」と言われると、なんだかとても難しいことを要求されている気分になりますよね。でも、実はこれ、日常生活である「ある悩み」を解決する作業と全く同じなのです。💡

想像してみてください。あなたは今、大好きなアーティストの限定ライブのチケットを手に入れようとしています。チケット代はちょうど１万円。 あなたの財布には、千円札が１０枚入っています。 一方で、あなたの友人は、五千円札２枚で払おうとしています。

この時、あなたと友人が持っている金額は「同じ」ですよね。 見た目は「千円札１０枚」と「五千円札２枚」で全然違いますが、価値という中身は等しい。この「見た目は違うけれど、実は同じものなんだよ」ということを説明する作業こそが、数学でいうところの「等式の証明」なのです。🎫

ミライくん

助けてください！数学の教科書を開いたら「等式の証明」っていうページが出てきたんですけど、もう一行目から何を言っているのかさっぱりなんです。😭

ミライくん、そんなに構えなくても大丈夫だよ。等式の証明っていうのは、簡単に言うと「左側と右側が、実は同じ結果になることを確かめるパズル」みたいなものなんだ。👨‍🏫

佐藤先生

ミライくん

パズル……ですか？でも、式の中に a とか b とか x とか混ざってて、全然パズルみたいに楽しく見えません。そもそも「証明しろ」って言われても、イコールで結ばれているんだから、最初から同じなんじゃないんですか？🤔

いいところに気づいたね！確かに、問題文に書かれている時点でそれは「正しいはず」のものなんだ。でも、数学の世界では「なぜ正しいと言えるのか、そのプロセスを見せてごらん」と求められるんだよ。例えば、ミライくん。ここに２つの箱があるとする。📦
左の箱には「リンゴが２個入った袋が３つ」入っている。
右の箱には「リンゴが３個入った袋が２つ」入っている。
合計はどっちも６個だけど、パッと見は違うよね？

佐藤先生

ミライくん

そうですね。袋の数が違いますから。

これを計算して、「ほら、左も６個でしょ？右も６個でしょ？だから同じだね」って言うのが証明の基本なんだ。

佐藤先生

ミライくん

なるほど、中身をバラして計算して、数字を揃えればいいんですね。それならできそうな気がします。でも、具体的にどう書けばいいんですか？

等式の証明には、主に３つの必勝パターンがあるんだ。今日は一番使いやすくて確実な方法を教えるね。それは「左辺（左側）を計算して、右辺（右側）と同じ形にする」という方法だ。📝

佐藤先生

ミライくん

サヘン？ウヘン？

おっと、専門用語が出ちゃったね。イコールの左側を「左辺」、右側を「右辺」と呼ぶんだ。両方合わせて「両辺」だね。
例えば、こんな問題を考えてみよう。

(a + 1)² - (a - 1)² = 4a

これを証明しなさい、と言われたらどうする？

佐藤先生

ミライくん

うわっ、出た……。カッコとか２乗とか……。ええと、まず左側が長いから、こっちをバラバラにしてみればいいんですか？

その通り！大正解だよ、ミライくん。証明のコツは「複雑な方をいじって、単純な方に合わせる」ことなんだ。この場合、左辺のほうがゴチャゴチャしているよね。だから左辺を計算してみよう。👍

佐藤先生

ミライくん

ええと、 (a + 1)² は、えーと……公式がありましたよね。 a² + 2a + 1 です。

素晴らしい！よく覚えていたね。じゃあ、後ろの (a - 1)² は？

佐藤先生

ミライくん

a² - 2a + 1 です。

完璧だ。じゃあ、その２つを引き算してみよう。

佐藤先生

ミライくん

(a² + 2a + 1) - (a² - 2a + 1) ですね。
カッコを外すと、 a² + 2a + 1 - a² + 2a - 1 になって……
あ！ a² と -a² が消える！ 1 と -1 も消える！残ったのは 2a + 2a だから…… 4a だ！😳

どうだい？右辺の形を見てごらん。

佐藤先生

ミライくん

あ！右辺も 4a です！同じになった！

そう！これが証明完了の合図だよ。
「左辺を計算していったら、右辺と同じ形になりました。だからこの等式は正しいです」って言えたわけだ。

佐藤先生

ミライくん

へぇー！意外とスッキリしますね。でも先生、もし左側を計算しても右側と同じにならなかったらどうするんですか？

その時は２つの可能性があるね。計算ミスをしているか、あるいは「右側もまだ計算できる余地がある」場合だ。
さっきは「左を解いて右に合わせる」って言ったけど、どうしても右側にたどり着けない時は「左も計算する、右も計算する、そして両方が同じゴールにたどり着くのを確認する」という方法もあるんだ。🚶‍♂️

佐藤先生

ミライくん

ゴールが同じなら、別々の道を通ってもいいってことですね。

その通り。例えば、左辺を計算したら「１０」になった。右辺を計算しても「１０」になった。じゃあ、左と右は同じだよね、という理屈だね。

佐藤先生

ミライくん

それなら、どっちを計算すればいいか迷わなくて済みそうです。

そうだね。ただ、一つだけ注意してほしいことがあるんだ。証明の問題で一番やってはいけないのが「最初からイコールでつないで計算しちゃうこと」なんだ。⚠️

佐藤先生

ミライくん

えっ？どういうことですか？

証明っていうのは「本当にイコールになるかどうか」を調べている最中なんだ。それなのに、計算の最初から「左辺 ＝ 右辺」って書いちゃうと、まだ証明できていないのに「同じです」って断定しちゃっていることになるだろう？
だから、書くときは必ず「左辺 ＝ ……」と始めて、最後に「よって左辺 ＝ 右辺」と結ぶのがマナーなんだよ。

佐藤先生

ミライくん

なるほど。結論を先に言っちゃダメで、ちゃんと証拠を積み上げてから「だから同じなんです」って言うのがルールなんですね。刑事ドラマの証拠集めみたいだ。🕵️‍♂️

いい例えだね！まさにミライくんは、数式という証拠を整理する探偵なんだ。
もう一つ、ちょっとレベルアップした方法も教えておこうか。「引き算してゼロにする」という方法だ。

佐藤先生

ミライくん

引き算してゼロ？

そう。 A = B であることを証明したいとき、 A - B を計算して、もし答えが 0 になったら、 A と B は同じだったって言えるよね？

佐藤先生

ミライくん

ああ、確かに！ 5 - 5 は 0 ですもんね。引き算して消えちゃえば、元は同じだったってことか。💡

これもよく使うテクニックだよ。特に、分数が混じっていたり、複雑な式同士だったりするときに威力を発揮するんだ。

佐藤先生

ミライくん

先生、なんだか少しずつ分かってきました。要するに、等式の証明って「式を変形させて、見た目を揃えるゲーム」なんですね。🎮

その意気だよ、ミライくん。
多くの人が数学を嫌いになっちゃうのは、やり方（ルール）を知る前に「難しそうだ」という壁を作っちゃうからなんだ。でも、やってることは「展開」や「因数分解」といった、今までに習った武器を使って、式を整理しているだけなんだよ。

佐藤先生

ミライくん

そうか、新しいことをやるんじゃなくて、今までの知識をどう使うかってことなんですね。

その通り。じゃあ、最後に一つだけ「まとめ」をしてみよう。等式の証明を解くときのステップを覚えているかな？

佐藤先生

ミライくん

はい！
まずは、ゴチャゴチャしている方の式（左辺か右辺）を選んで計算する。
計算した結果が、もう片方の式と同じになればゴール。
もし、片方だけじゃ上手くいかない時は、両方を計算して同じ結果になるか確かめる。
書くときは、最初からイコールでつながずに、片方ずつ計算していく。
……こんな感じですか？

完璧だ！ミライくん、これでもう等式の証明は怖くないね。🎊

佐藤先生

ミライくん

はい！パズルだと思って、いろいろ解いてみます。先生、ありがとうございました！

結論：等式の証明をマスターする３つのステップ

佐藤先生とミライくんの会話から分かったように、等式の証明は決して魔法のような難しい作業ではありません。以下の３つのポイントを意識すれば、どんな問題でも落ち着いて取り組むことができます。✅

１．最も基本：複雑な方を変形して、単純な方に合わせる
証明の多くは、式が長い方を展開したり整理したりすることで、短い方の式と一致するように作られています。まずは「左辺」または「右辺」のどちらか一方に注目し、計算を進めていきましょう。

２．応用技：両方を計算して、同じ「ゴール」を目指す
片方の変形だけでは上手くいかない場合は、左辺と右辺をそれぞれ別々に計算してみてください。最終的にどちらも同じ式（例えば a² + b² など）にたどり着けば、その時点で証明は成功です。

３．引き算の利用： (左辺) - (右辺) = 0 を示す
これは少し高度に見えますが、非常に強力な方法です。左側の式から右側の式を引き、その結果が 0 になることを示せば、元の２つの式が等しいという揺るぎない証拠になります。

数学の証明問題は、白紙の解答欄を埋めていく「論理の積み重ね」です。
一歩一歩、自分の知っている計算ルールを当てはめていけば、必ず答えにたどり着けます。「右と左の見た目を揃える」というシンプルな目的を忘れずに、パズルを解くような感覚で挑戦してみてください。💪