数学の授業で「恒等式」という言葉を聞くと、なんだか難しそうで身構えてしまいますよね。でも実は、恒等式は私たちの日常の「当たり前」を数式にしただけの、とてもフレンドリーな存在なのです。😊
今回は、数学がちょっと苦手なミライくんと一緒に、恒等式の正体と、そこに含まれる謎の文字「a」や「b」を魔法のように解き明かすテクニックを学んでいきましょう。🚀
買い物で出会う「当たり前」の数式🛒
想像してみてください。あなたはコンビニに買い物に来ました。
1個100円のリンゴを3個、1個50円のミカンを2個買おうとしています。
この時、合計金額を計算する式は、
「100円 × 3個 ＋ 50円 × 2個 ＝ 400円」
となりますよね。
では、これをちょっとだけ抽象的にしてみましょう。
「100円 × リンゴの数 ＋ 50円 × ミカンの数 ＝ 合計金額」
という式を作ったとします。
もし、リンゴの数を x、ミカンの数を y と置くと、
「100x + 50y = 合計金額」
となります。
恒等式というのは、一言で言えば「どんな数字を入れても、左右がピタッと一致する式」のことです。💡
たとえば、「リンゴの代金 ＋ ミカンの代金 ＝ 全体の代金」という関係は、買う個数が1個でも100個でも、絶対に変わりませんよね。この「絶対に変わらない関係性」こそが、恒等式の本質なのです。
ミライくん
先生！「恒等式（こうとうしき）」って、名前からして難しそうで、教科書を開く気が起きないんです。😱
佐藤先生
ははは、確かに漢字だけ見ると強そうだよな。でも、ミライくん。「恒」っていう漢字は「恒久平和」とか「恒例行事」って言葉に使われるだろ？🤔
ミライくん
あ、「いつも通り」とか「ずっと変わらない」って意味ですよね。💡
佐藤先生
その通り！つまり、恒等式っていうのは「どんな数字を入れても、常に（恒に）成り立つ式」のことなんだ。📐
ミライくん
常に成り立つ……。それって、普通の「方程式」とは違うんですか？❓
佐藤先生
いい質問だ！そこが最大のポイントだよ。✨
たとえば、x + 3 = 5 という式を見てごらん。これが成り立つのは、x が 2 の時だけだよね？
ミライくん
そうですね。x が 1 だったら 1 + 3 = 4 になっちゃうから、ダメです。🙅♂️
佐藤先生
このように「特定の数字の時だけ成り立つ式」を「方程式」と呼ぶ。
対して、恒等式はこうだ。
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
ミライくん、x に 1 を入れてみて。
ミライくん
えーっと、左側は (1 + 1)2 だから 22 で 4 です。右側は 12 + 2 × 1 + 1 だから、これも 4 です。一致しました！😲
佐藤先生
じゃあ、x に 10 を入れたら？😏
ミライくん
左は 112 で 121。右は 100 + 20 + 1 で 121……。あ、また一致した！👏
佐藤先生
これが恒等式だ。x にどんな数字を入れても、右と左は「形が違うだけで、正体は同じもの」なんだよ。👔👗
ミライくん
なるほど！「同じ人の、私服姿と制服姿」みたいなものですね。見た目は違うけど、中身は同一人物、みたいな。🏫
佐藤先生
その例え、最高だね。👍
さて、テストでは「この式が恒等式になるように、a と b の値を求めなさい」という問題が出る。
ミライくん
うわ、出ました。その a とか b とかが出てくると混乱するんです。🌀
佐藤先生
大丈夫。解き方は2つしかない。名付けて「形を合わせる作戦」と「数字をぶち込む作戦」だ。⚔️
方法1：係数比較法（形を合わせる作戦）🧩
佐藤先生
まずは「係数比較法」からいこう。これは、さっきミライくんが言った「制服と私服」の考え方だ。
例えば、こんな問題があったとする。
「ax + b = 3x + 5 が x についての恒等式であるとき、a, b を求めよ」
ミライくん
え、これって見たまんまじゃないですか？ x の前にあるのが 3 だから、a = 3。後ろにある数字が 5 だから b = 5？👀
佐藤先生
大正解！それが係数比較法だ。右側と左側の「見た目」を完全に一致させる方法だね。✨
じゃあ、少しレベルアップだ。
「a(x + 1) + b(x - 1) = 4x + 2」
これが恒等式のとき、どうする？
ミライくん
うーん、左側がバラバラで、右側と形が違いますね。🤔
佐藤先生
そうだね。だから、まずは左側を「掃除」して、右側と同じ形に整えてあげるんだ。カッコを外してみて。🧹
ミライくん
ax + a + bx - b = 4x + 2 ですね。📝
佐藤先生
よし。次に x がついている仲間と、ついていない仲間に分けよう。🤝
ミライくん
(a + b)x + (a - b) = 4x + 2 になりました！✨
佐藤先生
完璧だ。さあ、右側と見比べてごらん。x の前にある数字は何かな？🔍
ミライくん
左は (a + b) で、右は 4 です。ってことは、a + b = 4 ですね！🎯
佐藤先生
その通り。じゃあ、x がついていない「ただの数字」の部分は？
ミライくん
左は (a - b) で、右は 2 です。つまり a - b = 2 です。📝
佐藤先生
あとは、この2つの式を連立方程式で解くだけだ。🔢
ミライくん
足し算すると 2a = 6 だから a = 3。引き算すると 2b = 2 だから b = 1。
答えは a = 3, b = 1 ですね。できました！🙌
方法2：数値代入法（数字をぶち込む作戦）💣
佐藤先生
次はもうひとつの必殺技「数値代入法」だ。
恒等式の定義を思い出して。何だったかな？💭
ミライくん
「どんな数字を入れても成り立つ式」ですよね。✨
佐藤先生
そう。だったら、自分の好きな数字を勝手に入れて、a や b をあぶり出してもいいはずだよね。
さっきの a(x + 1) + b(x - 1) = 4x + 2 をもう一度見てみよう。
計算が楽になりそうな x の値って、何だと思う？🧐
ミライくん
ええー、何でもいいなら…… 0 とか 1 とかですか？🙄
佐藤先生
鋭い！特に「カッコの中が 0 になる数字」を入れるのがコツなんだ。🔑
もし x = 1 を入れたら、どうなる？
ミライくん
えーっと、a(1 + 1) + b(1 - 1) = 4(1) + 2 だから……
2a + 0 = 6！
えっ、一瞬で 2a = 6 になっちゃいました。a = 3 です！😲✨
佐藤先生
すごいだろ？ b の前のカッコが (1 - 1) で 0 になったから、b が消えてくれたんだ。
じゃあ、次に x = -1 を入れてみて。🔄
ミライくん
今度は a(-1 + 1) + b(-1 - 1) = 4(-1) + 2 ですね。
0 - 2b = -4 + 2 だから……
-2b = -2 で b = 1。
わあ、さっきよりずっと早く答えが出ました！😆
佐藤先生
これが数値代入法だ。ただし、ひとつだけルールがある。
「使った数字の数だけ、ちゃんとチェックすること」だ。☝️
今回は a と b の2つの文字を求めたから、2つの数字（1と-1）を入れた。
これで理論上はOKなんだけど、本当は「他の数字を入れても本当に成り立つか？」を最後に一言、「これは全ての x について成り立つ」と添えるのがマナーなんだ。👩🏫
ミライくん
なるほど。でも、どっちの方法を使えばいいんですか？🌀
佐藤先生
1. 式がシンプルで、展開するのが楽そうな時は「係数比較法」。
2. (x - 1) みたいに、何かを代入したらすぐ消えそうなカッコがある時は「数値代入法」。
こう使い分けると、テストで時間が余るようになるぞ。⏱️
恒等式のまとめ：これさえ覚えれば怖くない💪
ミライくんとの会話を通じて、恒等式の攻略法が見えてきましたね。😊
最後に、この記事の結論をシンプルにまとめます。
1. 恒等式とは何か？🧐
- 方程式： x が「特定の特別な値」の時だけ成り立つ式。（例：犯人捜し🕵️♂️）
- 恒等式： x に「どんな値を代入しても」常に成り立つ式。（例：双子の入れ替わり👬）
2. 未知数 a, b を求める2つの武器⚔️
| 手法 | やること | 向いているケース |
|---|---|---|
| 係数比較法 | 両辺を展開して整え、同じ場所の数字を比べる。 | 式が短く、展開が簡単なとき。 |
| 数値代入法 | x に 0, 1, -1 など、計算が楽になる数字を代入する。 | (x-2) のように、代入すると 0 になるパーツがあるとき。 |
3. 解法のステップ📝
- 式を観察する： 「展開して比べる」か「数字を入れる」か決める。🔍
- 実行する： a と b についての式を導き出す。✍️
- 計算する： 連立方程式などで a, b の値を出す。🔢
- 仕上げ： 数値代入法を使った場合は、最後に「これは恒等式として成立する」と心の中で（あるいは答案に）唱える。✨
数学の問題は、一見すると複雑なパズルのように見えます。しかし、恒等式に関しては「右と左は同じもの」というルールさえ忘れなければ、必ず解けるボーナス問題になります。🎁
「a や b は、まだ正体を隠しているだけの数字なんだ」という気持ちで、まずは簡単な代入から始めてみてください。🌱
