円に内接する四角形は「向かい合ったら180度」！一瞬で角度を解く魔法のルールを解説
25sb3018@student.gs.chiba-u.jp図形の問題で「円の中に四角形」を見つけたら、それは超ラッキーなボーナス問題です！なぜなら、今回紹介する「円に内接する四角形の性質」を知っているだけで、難しい計算をせずに一瞬で答えが出るようになるからです。
目次
最強の数字「180」を覚えよう
佐藤先生
ミライくん、円の中に四角形が入っている図形を見て、まず何を思い浮かべるかな？
ミライくん
佐藤先生！やっぱり円周角の性質を使って、同じ弧から出ている角度を探していく感じですか？
佐藤先生
もちろんそれも大切だけど、もっと一瞬で答えが出るルールがあるんだ。四角形の頂点4つがすべて円にくっついているとき、「向かい合う角を足すと180度」になるんだよ。
ミライくん
えっ、足すと180度！？じゃあ、もし左上の角が100度だったら、その斜め向かいにある右下の角は、計算しなくても80度ってことですか？
佐藤先生
その通り！「向かい合ったら合計180」と覚えておけば、引き算一回で答えが出ちゃうんだ。四角形の内角の合計は360度だよね。その360度を、向かい合わせのペアで半分（180度）ずつ分け合っている、とイメージするとわかりやすいよ。
なぜ合計180度になるの？（中心角のヒミツ）
ミライくん
へぇー！それはすごく便利ですね！でも先生、なんで「隣」じゃなくて「向かい側」を足すと180度になるんですか？
佐藤先生
いい質問だね。理由は、以前に習った「円周角と中心角の関係」を使って説明できるよ。円の中心を点Oとして、向かい合う2つの角について考えてみよう。
佐藤先生
例えば、角Aと角Cがあるとする。角Aは「下側の弧」に対する円周角だよね。対して角Cは「上側の弧」に対する円周角なんだ。
ミライくん
あ！「下側の弧の中心角」と「上側の弧の中心角」を合わせると、ぐるっと一周で360度になりますね！
佐藤先生
そう。円周角は中心角の「半分」という決まりがあったよね。だから、中心角を合計して360度なら、その半分である円周角同士を足せば、必ず180度になるというわけなんだ。
ミライくん
なるほど！ちゃんとした理由があるんですね。だからどんな形の四角形でも、4つの点が円の上にある限り、このルールは絶対に崩れないんだ！
もうひとつの魔法：外角の関係
佐藤先生
ミライくん、もうひとつセットで覚えておくと「神」レベルに便利な性質があるよ。四角形のひとつの辺を外に真っ直ぐ伸ばしたときにできる「外角」を見てごらん。
ミライくん
外角……。あ、四角形のすぐ外側に飛び出している角ですね。
佐藤先生
そう。この外角の大きさは、その隣にある角の「向かい側」と同じ大きさになるんだ。
ミライくん
あ！わかりました！「外角」とその「すぐ隣の内角」を足すと、一直線だから180度ですよね。で、さっき習ったルールだと、「その隣」と「向かい側の角」を足しても180度。……ってことは、外角と向かい側の角は同じ数字じゃないと計算が合わないんだ！
佐藤先生
その通り！大正解。この性質を知っていると、図形の外側にあるヒントから、一瞬で内側の角度を「ワープ」させて答えを出すことができるんだよ。
ここだけは注意！「4つの点」のチェック
ミライくん
先生、このルールってどんな四角形でも使えますか？
佐藤先生
そこが一番の注意点だよ。この魔法が使えるのは、「4つの頂点がすべて円周上にあるとき」だけなんだ。
ミライくん
もし、1つでも円に届いていなかったり、突き抜けていたりしたら……。
佐藤先生
その場合は、残念ながらこのルールは使えない。問題を解く前に、まずは「4つの点がちゃんと円の上に乗っているか」をチェックするクセをつけようね。
結論：これだけ見れば明確に理解できる！
テストで角度問題を解くときは、以下のポイントをチェックするだけでOKです。
本日の重要ポイント
- 向かい合う角度を足すと必ず180度！
- 四角形の頂点が4つとも円周上にあるときだけ使える特別なルール。
- どちらか一方がわかれば、「180 － （わかっている角）」で、もう片方の答えが一瞬で出る。
- 外角 ＝ 向かい側の内角！
- 四角形の辺を伸ばした「外側の角」は、その隣の角の「向かい側（内対角）」と全く同じ大きさ。
- 計算不要で、数字をそのままスライドさせるだけで解ける場合も多い。
- 「4つの点」が円の上にあるか確認！
- 1つでも円から浮いていたり、中心にズレていたりする四角形には使えないので注意。
ミライくん
「向かい合ったら180」。これなら暗記しなくても、円周角の半分だと思えばすぐ思い出せそうです！佐藤先生、ありがとうございました！
理解度チェック問題
問1. 円に内接する四角形で、ある角が110度です。その「向かい側」にある角の大きさは何度？
問2. 円に内接する四角形で、外角が85度であるとき、その「向かい側」の内角の大きさは何度？
問3. 四角形の頂点が一つだけ円の外に飛び出しています。このとき「向かい合う角の和は180度」になりますか？
