【数学】角の二等分線の正体は「ピザの切り分け」？佐藤先生と学ぶ一番わかりやすい図形の基本

ミライくん

あー、もう！なんでこんなのが必要なんだよ。角の二等分線なんて、一生使わないだろ……

佐藤先生

ミライくん、どうしたんだい？ずいぶん派手に悩んでいるね。

ミライくん

あ、佐藤先生。数学の宿題なんですけど、この『角の二等分線』ってやつが全然ピンとこなくて。定規とコンパスでシャカシャカやるのはいいんですけど、意味がわからないというか。

佐藤先生

なるほどね。確かに、ただの線だと思ったら面白くないかもしれない。じゃあ、ちょうど目の前にあるそのピザのチラシを使って考えてみようか。

ミライくん

ピザ？数学と関係あるんですか？

佐藤先生

大ありだよ。例えば、君と友達の二人が、最後の一切れのピザを分け合うことになったとしよう。このピザはきれいな三角形の形をしている。二人とも食いしん坊だから、一ミリも損をしたくない。さて、どうやって切る？

ミライくん

それは……真ん中からスパッと切りますよ。

佐藤先生

その『真ん中』っていうのがポイントなんだ。ピザの尖った角のところに包丁を当てて、ちょうど半分に分けたい時、君はどうやって包丁の進む道を決めるかな。

ミライくん

ええと、右側のふちと、左側のふちから同じくらいの距離になるところ……かな？

佐藤先生

正解！それこそが「角の二等分線」の正体なんだよ。今日はこの線を、世界一わかりやすく攻略してみよう。

二つの壁から「同じ距離」をキープする魔法の道

ミライくん

先生、さっき「同じくらいの距離」って言いましたけど、角の二等分線って結局は何なんですか？

佐藤先生

一言で言うとね、角の二等分線は「二つの辺（壁）から、常に同じ距離にある点の集まり」なんだ。

ミライくん

同じ距離にある点の集まり……？

佐藤先生

想像してごらん。君が、Ｖの字の形をした細い路地の突き当たりに立っているとする。右側には高い壁、左側にも高い壁がある。君は「両方の壁にぶつからないように、ちょうど真ん中を歩きたい」と思った。その時、君が歩く足跡が「角の二等分線」になるんだよ。

ミライくん

あ、なんかイメージわいてきました。どっちの壁にも偏らない、公平な道ってことですね。

佐藤先生

その通り。じゃあ、実際にどうやってその道を見つけるか、コンパスの動きを思い出してみよう。まず、Ｖの字の根っこ（頂点）にコンパスの針を刺して、円を描くよね。

ミライくん

はい。シュッて線を引いて、二つの辺に印をつけます。

佐藤先生

その二つの印は、頂点から「同じ距離」にあるよね。次に、その印に順番に針を刺して、バッテンを作る。あのバッテンは何のために作っていると思う？

ミライくん

ええと……なんとなく、真ん中を決めるため？

佐藤先生

そう。あのバッテンの交点は、左右の印から「同じ距離」にある場所なんだ。つまり、右の壁からも左の壁からも等しい距離にある場所を探し当てたことになる。そこに向かって頂点から線を引けば、どこを切り取っても左右の壁から等距離になる「公平な道」が完成するんだよ。

ミライくん

なるほど！コンパスの作業って、実は「どっちの壁からも同じ距離の場所」を探す宝探しみたいなものだったんですね。

なぜ「角度が半分」になるの？

ミライくん

でも先生、教科書には「角度を二つに分ける線」って書いてありますよね。距離の話と角度の話、どっちが正しいんですか？

佐藤先生

いい質問だね。実は、その二つは「同じこと」を言っているんだ。

ミライくん

同じこと？

佐藤先生

ミライくん、さっきのピザを思い出して。角の頂点から、二つの辺から等しい距離を通るように線を引いたとする。すると、元の大きな三角形の中に、細長い二つの三角形ができるよね。

ミライくん

はい、右側と左側に分かれます。

佐藤先生

その二つの三角形をじっくり見てごらん。コンパスで印をつけたから、根っこの長さは同じ。真ん中の線は共通で使っているから同じ長さ。そして、さっき言った通り、それぞれの壁までの距離も同じ。……これ、二つの三角形は全く同じ形（合同）になっていないかな？

ミライくん

あ、本当だ！鏡で映したみたいに同じ形になりますね。

佐藤先生

形が同じなら、その根っこの「角度」も当然同じになる。だから、結果的に角度が「二等分（半分に分かれる）」されるんだ。だから、「辺から等しい距離にある線」と「角度を半分にする線」は、呼び方が違うだけで、実は同じ線のことを指しているんだよ。

ミライくん

そっか。角度を測って分けるのは難しいけど、コンパスを使えば「距離」を利用して、正確に角度を半分にできるってことか。

角の二等分線の「必殺技」

佐藤先生

さて、ここからがテストでよく出る、角の二等分線の「すごい力」の話だ。

ミライくん

え、まだ何かあるんですか？

佐藤先生

三角形には角が三つあるよね。その三つの角、すべてに二等分線を引いてみるとどうなると思う？

ミライくん

えーっと、ぐちゃくちゃになりそう……。

佐藤先生

実はね、不思議なことに、三つの線は「必ず一箇所で重なる」んだ。

ミライくん

えっ！偶然じゃなくて、絶対にですか？

佐藤先生

絶対にだ。そしてその重なった点は「インセンター（内心）」と呼ばれている。この点はね、三角形の三つの辺すべてに、ぴったりくっつく「円」の中心になるんだよ。

ミライくん

三つの壁全部から同じ距離にある場所ってことですか？

佐藤先生

その通り！さっきの「二つの壁から等しい距離」というルールを三つの角で全部守ったら、最後には「どの壁からも同じ距離にある、三角形のへそ」が見つかるんだ。これがわかると、テントを張る時にど真ん中を探したり、部屋の三つの壁から一番離れた場所に宝物を置いたりする時に役立つんだよ。

ミライくん

急にかっこよく聞こえてきました……。

どんな時に使える？日常の角の二等分線

ミライくん

先生、理屈はわかりました。でも、やっぱりテスト以外で使う場面が想像できなくて。

佐藤先生

それじゃあ、もっと具体的な場面を想像してみよう。

佐藤先生

例えば、道路の合流地点。二つの道がＶ字に合流するところに、看板を立てるとしよう。どっちの道の車からも同じくらいよく見えるようにするには、どこに立てればいい？

ミライくん

……二等分線の上ですね！

佐藤先生

正解。こうして考えると、世の中には「二つのもののちょうど中間」を決めなきゃいけない場面がたくさんある。その時、感覚じゃなくて「数学的に絶対ここだ！」と決められるのが、角の二等分線の力なんだ。

結論：角の二等分線を使いこなすために

ミライくん

先生、なんだか「角の二等分線」が、ただの難しい図形じゃなくて、便利な道具に見えてきました。

佐藤先生

それはよかった。最後に、今日学んだことをまとめておこうか。これだけ覚えておけば、もう角の二等分線は怖くないよ。

• １．角の二等分線は「二つの辺（壁）から等しい距離」にある点の集まりである。
• ２．コンパスで書くバッテンは、その「等しい距離の場所」を見つけるための印。
• ３．二等分線を引くと、左右に「全く同じ形の三角形」ができるため、角度が半分になる。
• ４．三角形の三つの二等分線が交わる点は、すべての辺に触れる円（内接円）の中心になる。

ミライくん

二つの壁から同じ距離の道、ですね。これならテストでも思い出せそうです。

佐藤先生

よし。じゃあ、そのピザのチラシの三角形も、実際に二等分線を引いて分けてみるかい？

ミライくん

あ、それは……定規を使うより、先に食べちゃったほうが早いかもしれません！

佐藤先生

ははは、それも一つの正解だね。でも、数学の宿題もちゃんと終わらせるんだよ。

ミライくん

はい！ありがとうございました、佐藤先生！

まとめ

角の二等分線とは、ある一つの角をちょうど二つに分ける線のことです。しかし、その本質は「二つの辺からの距離が等しい場所を通る線」であるという点にあります。

この性質があるからこそ、私たちはコンパスを使って、分度器なしでも正確に角度を半分に分けることができます。コンパスで描く二つの弧が交わる点は、二つの辺から同じだけ離れた「公平な地点」を示しているのです。

また、三角形の三つの角の二等分線が一点で交わるという性質は、デザインや設計、スポーツの守備位置の決定など、現実社会のあらゆる「バランス」が求められる場面で応用されています。

「角の二等分線は、二つの壁から等距離にある平和な道である」

このイメージを頭に持っておくだけで、図形の問題の見え方はガラリと変わるはずです。

角の二等分線の基本をマスターしたところで、次は「垂直二等分線」との違いについても一緒に整理してみませんか？