文字の分数式を攻略!計算ミスの8割を防ぐ「魔法のかっこ」と通分のコツ
文字式の計算において、多くの人がつまずきやすい「分数の計算」をマスターするための解説記事です。
目次
先生と生徒の学習相談
佐藤先生
ミライくん、数学のテストが返ってきたね。この「分数の混じった文字式の計算」、あと一歩だったよ。
ミライくん
うわー、やっぱりここか。分数の計算って見ただけで「うわっ」てなるし、計算してるうちにプラスとマイナスがぐちゃぐちゃになっちゃうんですよね。
佐藤先生
その気持ち、よくわかるよ。でもね、実はたった「3つのステップ」を守るだけで、どんなに複雑に見える問題もパズルみたいに解けるようになるんだ。
ミライくん
パズル?それなら僕にもできるかも。具体的にどうすればいいんですか?
佐藤先生
よし、今日はこの問題を一緒に解きながら説明しよう。
(2a - b) / 3 - (a - 4b) / 2
これ、どうやって解き始める?
ミライくん
えーっと、まずは分母を揃える……通分でしたっけ?
佐藤先生
正解!分数の足し算・引き算の鉄則だね。分母の「3」と「2」を見て、いくつに揃えればいいかな?
ミライくん
3と2だから……6ですね!
佐藤先生
その通り。じゃあ、左側の分数には何をかければいい?
ミライくん
分母を6にするから、2をかけます。あ、でも下だけにかけちゃダメなんですよね?
佐藤先生
冴えてるね。分母と分子、両方に同じ数をかけないと数字の大きさが変わってしまう。だから、左側には2を、右側には3をかけるんだ。
ミライくん
じゃあ、こうなりますね。
2(2a - b) / 6 - 3(a - 4b) / 6
2. 分子に「かっこ」をつけてから一つの長い棒に合体させる
佐藤先生
ここからが一番大事なポイントだよ。ミライくん、このままバラバラに計算しようとしないで、一度「一つの大きな分数」にまとめちゃおう。
ミライくん
え、合体させるんですか?
佐藤先生
そう。ここで絶対に忘れてはいけないのが、分子の式に「かっこ」をつけること。これをサボると、符号のミスで100%間違えると言ってもいいくらいだ。
ミライくん
かっこをつける……。
佐藤先生
そう。こんな風に、長い一本の棒(分母)の上に、かっこがついた分子を並べるんだ。
ミライくん
なるほど。一本の長い棒にするから、分母の「6」は一個で済むんですね。
2(2a - b) - 3(a - 4b)
-------------------
6
-------------------
6
ミライくん
あ、これならスッキリして見えますね。
佐藤先生
でしょ?この「かっこ」が、マイナスという敵から中身を守るバリアみたいな役割をしてくれるんだ。
3. 分配法則でかっこを外して、aはa同士、bはb同士で計算する
ミライくん
あとは、上にあるかっこを外せばいいんですね。
佐藤先生
その通り。ここで「分配法則」の出番だ。外にある数字を、中にある全部の文字にかけていこう。特に後ろの「-3」をかけるときは要注意だよ。
ミライくん
えーっと、2かける2aで「4a」、2かけるマイナスbで「-2b」。
次は……マイナス3をかけるから、マイナス3かけるaで「-3a」。
最後が、マイナス3かけるマイナス4bだから……プラスになって「+12b」だ!
次は……マイナス3をかけるから、マイナス3かけるaで「-3a」。
最後が、マイナス3かけるマイナス4bだから……プラスになって「+12b」だ!
佐藤先生
完璧だ!マイナスとマイナスをかけてプラスにする、ここが最大の難関だったけど、ミライくんは突破したね。
4a - 2b - 3a + 12b
------------------
6
------------------
6
ミライくん
あとは、aとbをまとめれば終わりですね。
佐藤先生
そう、同じ仲間(同類項)を探して計算しよう。
ミライくん
4aひく3aは「a」。マイナス2bたす12bは「+10b」。
できました!答えはこれです!
できました!答えはこれです!
a + 10b
-------
6
-------
6
佐藤先生
大正解!どうだい?この3つの手順、そんなに難しくなかっただろう?
ミライくん
確かに!いきなり計算しようとしないで、一旦「長い棒」にまとめるのがコツなんですね。これなら計算ミスしなそうです。
結論:分数の文字式を解く3ステップ
文字式の分数の計算でミスをゼロにするためには、以下の手順を必ず踏んでください。
- 1. 分母を最小公倍数で合わせる
分母を揃える「通分」を行います。このとき、分子全体に何をかけるかをハッキリさせます。 - 2. 分子に「かっこ」をつけてから一つの長い棒に合体させる
バラバラの分数を一つにまとめます。引き算の場合、後ろの分子全体にマイナスがかかるため、必ず「かっこ」をつけて保護することがミスを防ぐ最大のコツです。 - 3. 分配法則でかっこを外して、aはa同士、bはb同士で計算する
分配法則を使って分子を展開します。特に「(マイナス)×(マイナス)=プラス」になる符号の変化に注意しながら、文字ごとにまとめて完成です。
この手順を一つずつ丁寧に紙に書くことで、数学の計算ミスは劇的に減ります。
文字式の計算、他にも苦手なパターンはありますか?例えば「小数が混じった計算」や「等式の変形」など、練習したいことがあれば教えてくださいね。
チェック問題!理解できたか試してみよう
Q1. 通分のあと、一番やってはいけないことは?
Q2. -(a - 3b) のかっこを外すとどうなる?
Q3. 分母が4と6のとき、分母をいくつに揃えるのが一番効率的?
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