ミライくん、さっきからスマートフォンの画面を一生懸命数えているね。何をしているんだい？

いいところに気づいたね。数学には、同じ数字を何度もかけ合わせるときに「短縮」して書く便利なルールがあるんだ。それが「指数」だよ。例えば、１０を３回かけたら１０００になるけれど、これを「１０の３乗」と書く。右肩に小さな３を乗せるだけだ。

大丈夫。指数法則は暗記するものじゃなくて、実は「中身を想像すれば当たり前のこと」しか言っていないんだ。今日はその秘密を一緒に解き明かしていこう。

まずは基本の「かけ算」からいこう。例えば「２の３乗」と「２の２乗」をかけ合わせるとどうなると思う？公式を忘れて、中身をバラバラにして考えてごらん。

その通り。つまり「２の５乗」だ。ここで右肩の数字を見てごらん。もともとは「３」と「２」だったよね。答えは「５」。何か気づかないかな？

そうなんだ。これが指数法則の第１ルール「同じ数字のかけ算は、指数の足し算になる」というものだ。
aのm乗 × aのn乗 ＝ aの(m+n)乗
これ、言葉で聞くと難しいけど、今のミライくんの「２が何個並んでいるか数える」というイメージがあれば、絶対に忘れないはずだよ。

いい質問だね。わり算はその逆だ。例えば「２の５乗」を「２の２乗」でわってみよう。分数にして考えてごらん。

正解だ。今、ミライくんは頭の中で「５個から２個を引いた」よね。これが第２ルール「わり算は、指数の引き算になる」ということだ。
aのm乗 ÷ aのn乗 ＝ a(m-n)乗
かけ算で増えるから足し算、わり算で減るから引き算。すごくシンプルだろう？

そこが間違いやすいポイントだね。これも中身を想像してみよう。「２の３乗」という塊が、外側の「２乗」によって２つある、という意味だよね。

そうだね。右肩の「３」と「２」を使って「６」を作るには、どうすればいい？

その通り。これが第３ルール「指数のさらなる累乗は、指数同士のかけ算になる」だ。
(aのm乗)のn乗 ＝ aの(m×n)乗
「３個入りのパックが２つあるから合計６個」という、日常の買い物と同じ考え方だよ。

いい調子だね。じゃあ、ちょっと応用編だ。ミライくん、「２の０乗」っていくつになるか知っているかな？

いい直感だ（笑）。実は、どんな数字でも「０乗」すると、答えは必ず「１」になるんだ。

さっきの「わり算は引き算」というルールを思い出してごらん。「２の３乗 ÷ ２の３乗」を計算してみよう。

そう。「同じ数字でわると１になる」ということと、「わり算は引き算になる」というルールを両立させるためには、どうしても「０乗は１」と決めないといけないんだ。これは数学界の共通ルールだと思って受け入れてみて。

物分かりが良くて助かるよ。じゃあ最後にもう１つだけ。右肩の数字が「マイナス」になったらどうなると思う？例えば「２のマイナス１乗」。

かっこいい発想だね！あながち間違いじゃない。指数においてマイナスは「逆数」、つまり「分母にいく」という合図なんだ。
「２の２乗」が４なら、「２のマイナス２乗」は「４分の１」になる。

これも「わり算は引き算」で説明がつくよ。「２の１乗 ÷ ２の３乗」を考えてみて。

素晴らしい。
２の（１−３）乗 ＝ ２のマイナス２乗
２ / （２×２×２） ＝ １ / （２の２乗）
この２つは同じ計算の結果だから、イコールで結ばれるはずだよね。だから「マイナスがついたら分母にひっくり返る」と決まっているんだ。

それはよかった。指数法則は「巨大な数字の桁を、右肩の数字だけで管理する」ための技術なんだ。例えば、１０億（１０の９乗）かける１００億（１０の１０乗）を計算するとき、ゼロを１９個書くのは大変だけど、指数法則を知っていれば「９＋１０＝１９」だから「１０の１９乗」だと一瞬でわかる。

その意気だ。じゃあ、最後に今日やったことをまとめておこう。これを「結論」として覚えておけば、テストでも迷わないはずだよ。