ルートの掛け算・割り算が絶対にわかる！平方根の基本ルールと計算のコツ

先生と生徒の対話を通して、数学が苦手な人でもルートの掛け算と割り算が絶対にわかるようになる解説記事をお届けします。

ルートの計算についての相談

ミライくん

助けてください。明日の数学のテストにルートの計算が出るんですけど、記号を見ただけで頭が真っ白になります。

佐藤先生

大丈夫だよ。ルート、つまり平方根の計算は、コツさえ掴めば実は普通の掛け算や割り算よりもシンプルなくらいなんだ。何が一番ややこしく感じる？

ミライくん

あの、屋根みたいな記号の中に数字が入っているじゃないですか。たとえば、ルート３かけるルート５って言われたら、どうしていいか分からなくなります。記号はどうなっちゃうの？って

佐藤先生

なるほどね。あの屋根の記号は、数学では『ルート』や『根号』と呼ぶけれど、掛け算のときはとっても親切んだ。結論から言うと、ルートの掛け算は『屋根を一つにまとめて、中身の数字をそのまま掛け算するだけ』でいいんだよ

ミライくん

えっ？それだけですか？じゃあ、ルート３かけるルート５は、ルートの中に３かける５を入れちゃえばいいんですか？

佐藤先生

その通り！式で書くとこうなるよ
ルート３ × ルート５ ＝ ルート（３ × ５） ＝ ルート１５

ミライくん

うわ、本当にそのままですね。ルート１５になって終わりですか？

佐藤先生

そう、終わり。簡単でしょう？じゃあ練習として、ルート２かけるルート７はどうなるかな？

ミライくん

ええと、屋根を一つにして、中身を２かける７にするから……ルート１４ですか？

佐藤先生

大正解！完璧だよ。ルートどうしの掛け算は、基本的にはこれだけなんだ

ミライくん

なんだ、ビビって損しました。これなら僕でも百点取れます！

佐藤先生

ハハハ、頼もしいね。でも、ルートの掛け算には、もう一歩だけ進んだ『レベル２』のルールがあるんだ。そこも一緒にクリアしておこう

ミライくん

レベル２ですか……。急に難しくなりそうで怖いな

佐藤先生

大丈夫、仕組みが分かれば一瞬だよ。例えば、ルート３かけるルート３はどうなると思う？

ミライくん

さっきのルール通りなら、屋根を一つにして、３かける３だから……ルート９ですか？

佐藤先生

そうだね。ルート９で大正解。ただ、ここでルートの本来の意味を思い出してほしいんだ。ルートって、そもそもどういう数字だったっけ？

ミライくん

ええと、２乗したらその数字になる数……でしたっけ？

佐藤先生

素晴らしい！よく覚えているね。ということは、ルート３というのは『２乗したら３になる数』だよね。じゃあ、ルート３を２回掛け算したら、何に戻るはずかな？

ミライくん

あ、２乗したら３になる数んだから、２回掛けたら３になる……。あっ！ルート９って、３のことですか？

佐藤先生

その通り！サザンが九だから、９は３の２乗だよね。屋根の中に同じ数が２つペアで揃ったら、屋根を外して外に飛び出すことができるんだ。だから、ルート３かけるルート３は、ルート９にするんじゃなくて、ただの『３』にするのが正解なんだよ

ミライくん

なるほど！屋根の中でペアができたら、屋根が消えて普通の数字になるんですね

佐藤先生

そう。だからこれからは、ルートの中に同じ数字の掛け算を見つけたら、わざわざ大きな数字にしないで、すぐに屋根を外してね。ルート５かけるルート５なら？

ミライくん

ただの５です！

佐藤先生

ルート２回かけるルート２なら？

ミライくん

ただの２です！

佐藤先生

素晴らしい。これがレベル２のルール『同じルートを掛けたら中身が飛び出す』だ。じゃあ、これを組み合わせたレベル３に挑戦してみよう。ルート２かけるルート６はどうなる？

ミライくん

ええと、普通のルールなら２かける６でルート１２ですよね。これは同じ数字じゃないから、ここで終わりですか？

佐藤先生

いいところに気づいたね。一見、終わりに見えるよね。でも、ルート１２の中身の『１２』を、もっと細かく掛け算に分解してみてほしいんだ。１２って、何×何でできているかな？

ミライくん

ええと、２かける６とか、３かける４とかですかね

佐藤先生

そう。その中で『４』に注目してみよう。４って、何の２乗だった？

ミライくん

２の２乗、つまり２かける２です！

佐藤先生

ということは、ルート１２の中身は『２かける２かける３』と書くことができるよね。ほら、屋根の中に同じ数字のペアが隠れていないかい？

ミライくん

あ！２が２つあります！ペアができました！

佐藤先生

ということは、ペアになった２は外に出て、ペアになれなかった３はルートの中に残るから……２ルート３、ですか？

ミライくん

大正解！ルート１２は、変身して『２ルート３』になるんだ。学校のテストでは、この変身をやらないとバツにされちゃうことが多いから気をつけてね

ミライくん

うわあ、ちょっとややこしくなってきました。ルートの中身をわざわざ分解してペアを探さなきゃいけないんですね。もっと簡単にできる方法はありませんか？

佐藤先生

いい質問だね。実は、最初の掛け算の段階で工夫すると楽になるんだ。もう一度、ルート２かけるルート６を考えてみよう。かける側の『ルート６』をはじめから『ルート２かけるルート３』に頭の中で分解しちゃうんだよ

ミライくん

あ、ルート６は２かける３だから、ルート２×ルート３ってことか！

佐藤先生

そう。そうすると、式は『ルート２ × ルート２ × ルート３』になるよね。ほら、ここにルート２が２つ並んだ。さっきのレベル２のルールを思い出してごらん

ミライくん

ルート２かけるルート２は、ただの２になる！

佐藤先生

そう！だから、ただの２と、残ったルート３をくっつけて、一気に『２ルート３』って出せるんだ。大きな数字のルート１２にしてから分解するより、最初から小分けにしてペアを見つけた方が計算ミスも減るよ

ミライくん

なるほど！そっちの方が数字が大きくならなくて計算しやすいです。ルートの中身を大きくする前に、ペアを作っちゃえばいいんですね

ルートの割り算の進め方

ミライくん

先生、掛け算のルールはなんとなく分かりました。じゃあ、割り算はどうなるんですか？分数とか出てきたら本当に嫌なんですけど……

佐藤先生

気持ちはよく分かるよ。でも安心して。割り算は、掛け算と全く同じ考え方でいいんだ。結論から言うと、ルートの割り算は『屋根を一つにまとめて、中身の数字をそのまま割り算するだけ』なんだよ

ミライくん

えっ、掛け算と同じでいいんですか？本当に？

佐藤先生

本当だよ。例えば、ルート６わるルート２という問題があったとする。これも屋根を一つにまとめて、中身を６わる２にするだけなんだ

ミライくん

ええと、６わる２は３だから……ルート３ですか？

佐藤先生

その通り。式に書くとこうなるよ
ルート６ ÷ ルート２ ＝ ルート（６ ÷ ２） ＝ ルート３

ミライくん

分数の形になっていても同じですか？たとえば、分母がルート３で、分子がルート１５みたいなやつです

佐藤先生

それも全く一緒だよ。分数っていうのは、上の数字（分子）わる下の数字（分母）のことだからね。ルート１５ぶんのルート３（√15 / √3）なら、全体を大きな一つの屋根で囲んで、中で１５わる３、つまり約分をしてしまえばいいんだ

ミライくん

１５わる３は５だから、ルート５ですか？

佐藤先生

そう、正解！ルートの割り算は、掛け算と同じように、屋根の中でまとめて割り算（約分）をすればいいだけなんだよ。思っていたよりシンプルでしょう？

ミライくん

これならいけそうです！掛け算も割り算も、基本は『屋根を一つにまとめて、中身を計算する』って覚えればいいんですね

佐藤先生

その通り、素晴らしいまとめ方だね。ただ、割り算にも一つだけ、テストで一番狙われる『ボスキャラ』みたいなルールがあるんだ。これを『分母の有理化（ゆうりか）』と言うんだけど、聞いたことはあるかい？

ミライくん

うわ、出た！『ゆうりか』って言葉、授業で先生が言ってました。漢字も難しそうだし、意味不明でスルーしてました……

佐藤先生

難しい名前に聞こえるよね。でも、やっていることはすごく単純だから怖がらなくていいよ。有理化っていうのは簡単に言うと、『分数の下の部分（分母）にあるルートを消して、普通の数字に変えること』なんだ

ミライくん

え、ルートって勝手に消しちゃっていいんですか？

佐藤先生

そのまま消したら数字が変わっちゃうからダメだけど、分数の性質を使えば、数字の大きさを変えずにルートを消すことができるんだ。ミライくん、分数って、上と下に『同じ数字』を掛け算しても、分数の大きさは変わらないっていうルールがあったの、覚えているかな？

ミライくん

ええと、２分の１の上と下に２をかけたら４分の２になる、みたいなやつですか？

佐藤先生

そう！２分の１も４分の２も、ピザ半分っていう大きさは同じだよね。これと同じことをルートでもやるんだ。例えば、ルート２ぶんの３（3 / √2）という分数があるとする。このままだと、下にルート２がいるよね。数学では、分母にルートを残したままだと『まだ計算が終わっていない』とみなされて、テストでバツにされちゃうんだ

ミライくん

厳しいですね……。じゃあ、どうやって下のルート２を消すんですか？

佐藤先生

ここでさっきの掛け算のレベル２のルールを思い出すんだ。ルート２を普通の数字に変えるには、何を掛けたらよかった？

ミライくん

あ！同じルートを掛けたら中身が飛び出すから……もう一回ルート２を掛ければいいんですか？

佐藤先生

大正解！分母のルート２に、同じルート２を掛け算する。でも、下だけに掛けたら数字の大きさが変わっちゃうから、上の分子にも同じようにルート２を掛け算してあげるんだ。上と下に同じものを掛ける、だね

ミライくん

なるほど。そうすると、下はどうなりますか？

佐藤先生

下は『ルート２かけるルート２』になるから、屋根が外れてただの『２』になる。上は『３かけるルート２』だから、そのままくっついて『３ルート２』になる。合わせて、２ぶんの３ルート２（3√2 / 2）になるんだ

ミライくん

おお！下のルートが消えて、普通の２になりました！

佐藤先生

これが『分母の有理化』の正体だよ。分母にあるルートと同じものを、上と下の両方に掛けるだけ。ね、難しくないでしょう？

ミライくん

名前は難しそうですけど、やってることは『下にいるやつと同じルートを上と下にかける』だけなんですね。これなら僕にもできそうです！

佐藤先生

その意気だよ。じゃあ、ちょっとだけひっかけ問題に挑戦してみよう。ルート６ぶんの２（2 / √6）を有理化してみて

ミライくん

ええと、下にルート６がいるから、上と下にルート６を掛けます。下はルート６かけるルート６で、ただの『６』になります。上は２かけるルート６だから『２ルート６』になります。だから、６ぶんの２ルート６、ですか？

佐藤先生

素晴らしい！手順はバッチリだ。でも、最後にもう一仕事あるんだ。できた分数『６ぶんの２ルート６』の、外に出ている数字の『６』と『２』を見てごらん。これ、普通の数字どうしだから、約分ができるんじゃないかな？

ミライくん

あ！２と６だから、２で割れますね。２は１になって、６は３になります。ということは……３ぶんの１ルート６ですか？

佐藤先生

そう！ただ、数学では『１ルート』の１は省略する決まりだから、答えは『３ぶんのルート６（√6 / 3）』になるよ。ここまでできたら文句なしの１００点満点だ！

ミライくん

なるほど、最後の最後まで油断せずに、普通の数字の約分がないかチェックしなきゃいけないんですね

整数とルートの組み合わせ

ミライくん

先生、もう一つ質問してもいいですか？さっき『３かけるルート２は３ルート２になる』って言ってましたけど、普通の数字とルートの掛け算って、中身を掛け算しちゃダメなんですか？３かけるルート２は、ルート６にはならないんですか？

佐藤先生

これもみんなが最初によく間違える、すごく良い質問だね！結論から言うと、普通の数字とルートの中身は、絶対に掛け算しちゃダメんだ。３かけるルート２は、ルート６にはならないよ

ミライくん

ええー、どうしてですか？さっきは中身をそのまま掛けるって言ったのに

佐藤先生

さっきのルールは『ルートどうしの掛け算』のルールなんだ。普通の数字とルートの数字は、住む世界が違うと思ってほしい。ルートのない普通の数字は『屋根のない一軒家』、ルートの数字は『屋根のある家』に住んでいる。この２つが掛け算するときは、中に入り混じることはできなくて、ただ横に並んでくっつくだけなんだ。だから、３とルート２が掛け算すると、３がルートの前にくっついて『３ルート２』になるんだよ

ミライくん

住む世界が違うから、中身に入っちゃダメなんですね。文字の計算の、３かけるｘ（エックス）が３ｘになるのと同じ感じですか？

佐藤先生

まさにその通り！文字の計算と全く同じイメージでいいんだ。ｘと同じように、ルートはそのままの形で後ろにくっつける。じゃあ、２かけるルート５は？

ミライくん

２ルート５です！

佐藤先生

じゃあ、これはどうかな？２ルート３かける４

ミライくん

ええと……家がない数字どうしと、家がある数字ですね。家がない２と４を掛け算して８にして、ルート３はそのままくっつけるから……８ルート３ですか？

佐藤先生

素晴らしい！その通り。屋根のない数字（整数）は整数どうしで掛け算して、ルートはそのまま後ろにくっつける。じゃあ、最後の難問だ。２ルート３かける５ルート２はどうなると思う？

ミライくん

うわあ、両方に数字とルートがついてる……。でも、今のルールなら、屋根のない数字どうしの『２かける５』をして、屋根の中の数字どうしの『ルート３かけるルート２』をすればいいんですか？

佐藤先生

お見事！完璧な推理だよ。それぞれを計算して合体させてごらん

ミライくん

２かける５は１０。ルート３かけるルート２はルート６。だから、合わせて１０ルート６ですか？

佐藤先生

大正解！それがルートの掛け算の究極の形だよ。外の数字は外の数字どうし、中身の数字は中身の数字どうしで掛け算する。これが分かっていれば、ルートの掛け算で困ることはもう何もないよ

ミライくん

なんだか、パズルみたいで楽しくなってきました！

佐藤先生

その感覚が持てればもう大丈夫。それじゃあ、今日一緒に勉強した内容を、テスト前に一目で確認できるように分かりやすくまとめておこうか

結論

ルート（平方根）の掛け算と割り算のルールは、以下の４つのポイントだけを覚えておけば完璧です。

１．掛け算・割り算は「中身どうし」を計算する

ルートがついている数字どうしの掛け算や割り算は、全体を一つの大きな屋根で囲むようにして、中身の数字をそのまま計算します。

• 掛け算： √a × √b ＝ √(a × b)（例： √3 × √5 ＝ √15 ）
• 割り算： √a ÷ √b ＝ √(a ÷ b)（例： √6 ÷ √2 ＝ √3 ）

２．同じルートを２回掛けたら「中身」が飛び出す

ルートは「２乗するとその数になる」という記号なので、全く同じルートを２つ掛け算すると、屋根が外れて普通の数字（整数）になります。

• √a × √a ＝ a（例： √3 × √3 ＝ 3 ）

３．ルートの中に「ペア（２乗）」ができたら外に出す

計算した結果、ルートの中身を細かく分解（素因数分解）して、同じ数字のペアができた場合は、その数字を屋根の外に追い出すことができます。ペアになれなかった数字はルートの中に残します。

• √(a × a × b) ＝ a√b（例： √12 ＝ √(2 × 2 × 3) ＝ 2√3 ）

※掛け算の途中で、あらかじめ中身を小さく分解してペアを作っておくと、大きな数字にならずに計算が楽になります。

４．外の数字は外どうし、中身は中身どうしで計算する

ルートのない普通の数字（整数）と、ルートのある数字が混ざっている計算では、掛け算できる相手が決まっています。混ざり合って中に入り込むことはできません。

• 整数 × ルート： 横にそのままくっつける。文字式の計算と同じ。（例： 3 × √2 ＝ 3√2 ）
• 全部混ざった掛け算： 「外の数字どうし」「中の中身どうし」をそれぞれ掛け算する。（例： 2√3 × 5√2 ＝ 10√6 ）
• 分母の有理化： 分数の下にルートがあるときは、まだ計算の途中です。分母にあるルートと同じものを、上（分子）と下（分母）の両方に掛け算して、下のルートを消し去りましょう。最後に普通の数字どうしで約分ができるかどうかのチェックを忘れないようにしてください。（例： 3 / √2 ＝ (3 × √2) / (√2 × √2) ＝ 3√2 / 2 ）