小数点の割り算で迷子にならない!佐藤先生とミライくんが教える「右側を整数にする」計算のコツ
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💡 佐藤先生とミライくんの算数・数学お悩み相談室
ミライくん、こんにちは。学校の数学で、何か最近引っかかっているところはあるかい。
こんにちは、佐藤先生。実は、算数のときからずっと苦手なままにしておいたところがあって……。中学生になって方程式とかをやるようになったら、いよいよごまかせなくなってきたんです。
お、いい気づきだね。苦手をそのままにせず、向き合おうとするのは素晴らしいことだよ。具体的にはどの単元かな。
小数が入った割り算です。普通の割り算なら、九九を使ったり筆算をしたりしてなんとかできるんですけど、たとえば「2.4÷0.6」とか「5.6÷0.07」みたいに、小数点がたくさん出てくると、もうどこに点を打てばいいのかわからなくなっちゃって。
なるほど、小数の割り算か。確かに、学校の教科書だと「割る数の小数点を右に動かして、割られる数の小数点も同じだけ動かして……」って、やり方だけをパズルみたいに教わることが多いから、混乱しやすいんだよね。
そうなんです。なんで点を動かしていいのかわからないし、たまに右に動かすのか左に動かすのかわからなくなって、勘で計算してバツをもらいます。
よし、じゃあ今日は、その「なんで小数点を動かしていいのか」という仕組みの根本から、絶対に間違えなくなるコツまで、じっくりお話ししよう。これをマスターすれば、もう小数の割り算は怖くなくなるよ。
本当ですか。ぜひお願いします。
まず、ミライくんに一つ質問だ。割り算って、そもそもどういう意味だったか覚えているかい。
ええと、例えば「6÷2」だったら、6個のリンゴを2人に平等に分けると1人何個になるか、っていうことですよね。答えは3個です。
大正解。じゃあ、もう一つの意味として「6の中に2は何個入っているか」という考え方はどうだろう。
あ、それも聞いたことがあります。6の中に2は、2、4、6だから3個入っていますね。
そうだね。小数の割り算を考えるときは、この「割る数が、割られる数の中に何個入っているか」というイメージを持つと、すごく分かりやすくなるんだ。例えば、最初にミライくんが言った「2.4÷0.6」という式を見てみよう。これはどういう意味になるかな。
さっきのイメージを使うと、「2.4の中に0.6が何個入っているか」という意味になりますか。
その通り。じゃあ、ちょっと想像してみてほしい。ここに、長さが2.4メートルのロープがあるとしよう。これを、0.6メートルずつに切り分けていくと、何本のロープができるだろう。
うーん、小数が入ると急に計算が難しく感じます。0.6が1本で0.6、2本で1.2、3本で1.8、4本で2.4……あ、4本です。
素晴らしい。今、頭の中で「0.6を何倍したら2.4になるか」を考えてくれたんだね。答えは4だ。つまり、2.4÷0.6の答えは4になる。
あ、本当だ。でも先生、今回は綺麗に4本ってわかりましたけど、もっと複雑な数字になったら、この方法だと限界がありますよね。
その通りだね。だから、どんな数字が来ても簡単に計算できるように、割り算が持っている「ある大原則」を使いたいんだ。ミライくん、次の3つの割り算の答えをそれぞれ考えてみてくれるかい。
1つ目は、6÷2。
2つ目は、60÷20。
3つ目は、600÷200。
1つ目は、6÷2。
2つ目は、60÷20。
3つ目は、600÷200。
ええと、6÷2は3ですよね。次の60÷20は、60の中に20が何個あるかだから、これも3です。最後の600÷200も、600の中に200は3個だから、やっぱり3です。全部答えが3になりますね。
そうなんだ。不思議だと思わないかい。割る数も割られる数も、どんどん大きくなっているのに、割り算の答えは全部「3」で変わらない。ここから何が言えるだろう。
数字が大きくなっても、バランスが同じなら答えは一緒ってことですか。
いい表現だね。数学的に言うと、「割り算の割られる数と割る数の両方に、同じ数をかけても、答えは変わらない」というルールがあるんだ。
6÷2の、両方の数に10をかけると60÷20になる。
さらに10をかけると600÷200になる。
どれも答えは同じ3だ。逆に、両方を10で割っても答えは変わらない。600÷200の両方を100で割れば、6÷2になって、やっぱり答えは3だ。
6÷2の、両方の数に10をかけると60÷20になる。
さらに10をかけると600÷200になる。
どれも答えは同じ3だ。逆に、両方を10で割っても答えは変わらない。600÷200の両方を100で割れば、6÷2になって、やっぱり答えは3だ。
なるほど。両方に同じことをするなら、数字を変えちゃってもいいんですね。
そう、そこが最大のポイントなんだ。じゃあ、このルールをさっきの「2.4÷0.6」に当てはめてみよう。ミライくん、この小数が入った割り算を、僕たちが大得意な「小数のない、普通の整数の割り算」に変えるには、両方に何をかければいいと思う。
ええと、小数をなくしたいから……10をかければいいですか。2.4に10をかけると24になって、0.6に10をかけると6になります。
その通り。両方に10をかけると、式は「24÷6」に変身する。これならミライくん、暗算でできるよね。
24÷6なら、九九の四六が24だから、答えは4です。あ。さっきロープで考えたときの答えと同じになりました。
そうなんだ。2.4÷0.6をそのまま計算するのは難しくても、両方を10倍して24÷6にしてしまえば、小学校2年生の割り算レベルまで簡単になる。そして、割り算の大原則のおかげで、24÷6の答えである「4」は、そのまま2.4÷0.6の答えになるんだ。
すごい。じゃあ、わざわざ小数のまま筆算をしなくても、10倍して整数にしちゃえばいいんですね。でも先生、ちょっと疑問があるんですけど。
何でも聞いてごらん。
昔、小数の「掛け算」を習ったときは、例えば2.4×0.6を計算するとき、24×6をやってから、最後に小数点を左に2回動かして「1.44」にしましたよね。掛け算のときは最後に小数点を戻したのに、割り算のときは変身させた後の「4」のままでいいんですか。「0.4」とかにしなくていいんですか。
これは誰もが一度は迷う、すごく良い質問だ。結論から言うと、割り算のときは「戻さなくていい」んだよ。なぜなら、さっき確認した通り、6÷2も60÷20も、答えは同じ「3」だったよね。もし、10倍したからといって最後に10で割って戻さなきゃいけないとしたら、60÷20の答えは0.3になっちゃう。でも実際は3のまだ。
あ、そっか。60÷20は3のままで合ってますもんね。
そう。掛け算の場合は、片方を10倍すると、答えも10倍になっちゃうんだ。だから最後に10で割って元に戻す必要がある。でも割り算は、両方を10倍しても、答えの大きさ自体は最初から変わらないんだ。だから、変身させて出てきた答えを、そのまま最終的な答えにしていいんだよ。
なるほど。掛け算と割り算では、仕組みが全然違うんですね。割り算は、両方を同じだけ10倍とか100倍するなら、答えを後からいじる必要はない。これ、すごくスッキリしました。
それは良かった。じゃあ、少しレベルを上げてみよう。次にミライくんが言っていた「5.6÷0.07」という問題に挑戦してみようか。
今度の割る数は「0.07」ですね。小数点の後に数字が2つあります。
そうだね。じゃあ、さっきと同じように「整数に変身させる」という作戦でいこう。今回は、両方に何をかければいいかな。
ええと、0.07を整数にするには、10倍だと0.7だから、まだ小数が残っちゃいます。だから100倍すればいいです。0.07を100倍すると、7になりますね。
素晴らしい。じゃあ、割られる数の方の「5.6」も同じように100倍しないといけないね。5.6を100倍すると、いくつになる。
5.6を10倍すると56で、もう1回10倍するから……560ですか。
その通り。ということは、5.6÷0.07という式は、両方を100倍することで、どんな式に変身したかな。
ええと、「560÷7」です。
よし、じゃあ560÷7を計算してみよう。
56÷7が、しちは56だから8ですよね。そこに0が1くっつくから、80です。
正解。ということは、もとの式である5.6÷0.07の答えはいくつになる。
割り算は最後に元に戻さなくていいから、そのまま「80」ですか。
大正解。どうだい、一見すると難しそうな小数の割り算だけど、何倍かして整数にするだけで、あっという間に解けちゃっただろう。
本当ですね。これなら筆算で迷子にならなくて済みそうです。でも先生、もう一つ聞いていいですか。
もちろん。何かな。
今回は両方を100倍したら、どっちも綺麗に整数になりましたよね。でも、例えば「3÷0.4」みたいに、片方が最初から整数で、片方だけが小数の場合はどうすればいいんですか。
いいところに目をつけたね。片方が整数で片方が小数の場合も、やることは完全に一緒なんだ。「両方に同じ数をかける」というルールさえ守ればね。
この場合、問題なのは「0.4」という小数だよね。これを整数にしたい。じゃあ、両方に何をかければいい。
この場合、問題なのは「0.4」という小数だよね。これを整数にしたい。じゃあ、両方に何をかければいい。
0.4を整数にしたいから、10をかければいいです。0.4は4になります。あ、でも、そうすると左側の「3」にも10をかけるんですよね。3を10倍すると30になります。
そうだね。割られる数の「3」は最初から整数だけど、ルールを守るために一緒に10倍してあげるんだ。そうすると、式はどうなる。
「30÷4」になります。でも先生、これって割り切れますか。30の中に4は、しち28で、あまりが出ちゃいます。
うん、あまりが出るね。中学生以降の数学では、割り切れないときは分数で答えるか、あるいは小数で最後まで計算しきることが多いんだ。今回は、せっかく小数の勉強をしているから、小数で最後まで計算してみよう。30÷4を筆算でやってみるかい。
はい。30の中に4は7個あるから、まず7を立てて、4×7で28。30から28を引くと2が残ります。ここで、30の後ろに点をつけて、0を下に降ろしてくるんですよね。
そうそう、その通り。
そうすると20になるから、20の中に4は5個。しご20で、ぴったり割り切れました。答えは「7.5」です。
よくできました。つまり、3÷0.4の答えは7.5になるんだ。このように、最初から整数だった数も、小数を消すために巻き添えにして10倍や100倍してあげる。これが鉄則なんだよ。
なるほど。とにかく「割る数(右側の数)」の小数を消すことを一番に考えて、そのために左側の数にも同じだけお付き合いしてもらう、というイメージですね。
その表現、すごくわかりやすいね。まさにその通り。右側の「割る数」が主役で、その小数を消すために、左側も同じだけ変身してもらうんだ。
じゃあ、ここまでの知識を使って、学校でよく習う「筆算のやり方」についても確認しておこう。学校の教科書に載っている方法も、実は今ミライくんが理解してくれた「両方を10倍、100倍する」という仕組みを、筆算の中でやっているだけなんだよ。
じゃあ、ここまでの知識を使って、学校でよく習う「筆算のやり方」についても確認しておこう。学校の教科書に載っている方法も、実は今ミライくんが理解してくれた「両方を10倍、100倍する」という仕組みを、筆算の中でやっているだけなんだよ。
え、そうなんですか。あの、小数点を矢印で右にピピって動かすやつですよね。
そう。例えば、さっきの「5.6÷0.07」を筆算で書くとしよう。
筆算の記号の中に5.6を書いて、外側の左に0.07を書くよね。
学校では「外側の0.07の小数点を右に2回動かして7にする。それにあわせて、中の5.6の小数点も右に2回動かす。足りないところには0を足す」って習わなかったかい。
筆算の記号の中に5.6を書いて、外側の左に0.07を書くよね。
学校では「外側の0.07の小数点を右に2回動かして7にする。それにあわせて、中の5.6の小数点も右に2回動かす。足りないところには0を足す」って習わなかったかい。
習いました。それで、中の数字が560になって、外の数字が7になるから、560÷7をするんだ、って。
これって、今ミライくんが自分でやった「両方を100倍する」という作業と、全く同じことを言っているのがわかるかい。
あ。小数点を右に1回動かすのって、10倍すると同じ意味ですもんね。2回動かすのは100倍するってことか。
その通り。だから、学校で習う「小数点を動かす」という操作は、おまじないでも何でもなくて、単に「両方を10倍や100倍して整数にしているだけ」なんだ。そう考えると、あの矢印の作業も怖くなくなるよね。
本当ですね。意味がわかると、ただ暗記していたときよりもすんなり頭に入ってきます。でも、学校の筆算のとき、いつも最後に答えの小数点をどこに打つかで迷っていたんです。動かした後の点に合わせるのか、動かす前の点に合わせるのか。
そこが一番の落とし穴だよね。結論から言うと、「動かした後の、新しい小数点」の位置の上に、そのまま答えの小数点を打てばいいんだ。
なぜなら、僕たちは「変身させた後の割り算」を計算しているからだ。
5.6÷0.07を100倍して、560÷7という新しい式を作った。この560÷7を計算した答えが「80」だ。560の小数点は、0の後ろにあるよね。だから、答えの80の小数点も、0の後ろにある。何もおかしなことはないだろう。
なぜなら、僕たちは「変身させた後の割り算」を計算しているからだ。
5.6÷0.07を100倍して、560÷7という新しい式を作った。この560÷7を計算した答えが「80」だ。560の小数点は、0の後ろにあるよね。だから、答えの80の小数点も、0の後ろにある。何もおかしなことはないだろう。
あ、そうか。さっき「割り算は最後に元に戻さなくていい」って教えてもらったから、変身した後の世界でそのまま計算を終わらせていいんだ。だったら、小数点の位置も、変身した後の位置のままでいいわけですね。
その通り。完全に理解したね、ミライくん。変身した後の新しい数同士で割り算をしているんだから、古い小数点のことはもう忘れていいんだ。新しい小数点の真上に、答えの小数点をピシッと打つ。これが筆算のルールだよ。
なんか、今まであんなに苦手だったのが嘘みたいです。
それは良かった。じゃあ、ミライくんが本当にマスターできたか、ちょっとだけ意地悪な問題を出してみてもいいかい。
はい、今の僕ならいける気がします。かかってこいです。
頼もしいね。じゃあ問題。「0.12÷0.4」はどうだろう。今回は、左側も右側もどっちも小数だよ。
ええと、まず主役は右側の「割る数」だから、0.4ですよね。0.4を整数にするためには、10倍すればいいから「4」になります。
ということは、お付き合いする左側の「0.12」も同じように10倍します。0.12を10倍すると……小数点が右に1回動くから「1.2」になります。
あれ。先生、左側が「1.2」で、まだ小数が残っちゃいました。
ということは、お付き合いする左側の「0.12」も同じように10倍します。0.12を10倍すると……小数点が右に1回動くから「1.2」になります。
あれ。先生、左側が「1.2」で、まだ小数が残っちゃいました。
お、いいところに気づいた。左側に小数が残ってしまったね。じゃあ、これだと計算できないのかな。
うーん、両方を100倍した方がよかったですか。100倍すれば、右側が40になって、左側が12になりますよね。「12÷40」なら、どっちも整数です。
素晴らしい。両方を100倍して「12÷40」にしても、もちろん正解にたどり着けるよ。でもね、実はさっきミライくんが言ってくれた「1.2÷4」のままでも、十分に簡単に計算できるんだ。
え。左側に小数が残っていてもいいんですか。
いいんだよ。僕たちが苦手だったのは、「割る数(右側の数)」に小数が入っていることなんだ。右側に小数があると、九九が使えないからね。でも、右側さえ「4」という綺麗な整数になってしまえば、左側に小数が残っていても、いつもの整数の割り算と同じように計算できるんだよ。
そうなんですか。じゃあ、「1.2÷4」をどうやって計算すればいいか教えてください。
いいよ。これも「1.2の中に4が何個入っているか」と考えてもいいし、筆算をイメージしてもいい。
まず、1の中に4は入っているかい。
まず、1の中に4は入っているかい。
いいえ、1の中に4は入らないので、0個です。
そうだね。だから、一の位には「0」を立てる。そして、一の位のすぐ後ろには小数点があるから、答えにも「0.」って点をつけるんだ。
次に、小数点を無視して「12の中に4が何個あるか」を考える。12÷4はいくつかな。
次に、小数点を無視して「12の中に4が何個あるか」を考える。12÷4はいくつかな。
3です。しさんじゅうに、ですから。
その「3」を、さっきの「0.」の後ろに書いてあげる。そうすると、答えはどうなる。
「0.3」になります。
正解。つまり、0.12÷0.4の答えは0.3になるんだ。
わざわざ100倍して「12÷40」にしなくても、右側さえ整数(4)にしてしまえば、左側は小数のままでも簡単に解けるんだよ。
わざわざ100倍して「12÷40」にしなくても、右側さえ整数(4)にしてしまえば、左側は小数のままでも簡単に解けるんだよ。
なるほど。主役の右側を整数にすることだけを考えて、左側は整数になろうが小数のままだろうが、気にしなくていいんですね。
そういうこと。左側が小数のままでも、いつもの割り算の感覚で、上から順番に数字を見ていけばいいだけだからね。
じゃあ、ミライくんがさっき提案してくれた「両方を100倍して12÷40にする」という方法でも、答えが同じになるか試してみようか。
じゃあ、ミライくんがさっき提案してくれた「両方を100倍して12÷40にする」という方法でも、答えが同じになるか試してみようか。
あ、やってみたいです。12÷40ですよね。
12の中に40は入らないから、まず「0」を立てて、点をつける。
そしたら12のろしろに0を補給して、「120の中に40が何個あるか」を考える。
120の中に40は、40、80、120だから、3個あります。
だから、答えは「0.3」です。わあ、本当に同じになった。
12の中に40は入らないから、まず「0」を立てて、点をつける。
そしたら12のろしろに0を補給して、「120の中に40が何個あるか」を考える。
120の中に40は、40、80、120だから、3個あります。
だから、答えは「0.3」です。わあ、本当に同じになった。
ハハハ,見事だね。どちらの方法を使っても、数学のルールが正しければ、必ず同じ答えにたどり着けるんだ。
右側を整数にするために10倍して「1.2÷4」で解くか、それとも両方を完全に整数にするために100倍して「12÷40」で解くか。これはミライくんが好きな方を選んでいいんだよ。
右側を整数にするために10倍して「1.2÷4」で解くか、それとも両方を完全に整数にするために100倍して「12÷40」で解くか。これはミライくんが好きな方を選んでいいんだよ。
どっちでもいいなら、僕は右側を整数にするだけの、かける数が小さくて済む方が楽な気がします。今回の場合は10倍するだけの方が、数字が大きくならなくていいですね。
うん、その感覚はすごく大事だよ。計算はできるだけシンプルに、数字を小さく保った方が、計算ミスも減るからね。
佐藤先生、なんだか小数の割り算のコツが完全に掴めた気がします。もう一度、自分で整理してもいいですか。
ぜひ、自分の言葉でまとめてごらん。アウトプットすると、さらに記憶に定着するからね。
はい。
まず、小数の割り算が出てきたら、そのまま計算しようとせずに「右側の数(割る数)」を整数に変えることだけを考える。
右側の数を整数にするために、10倍とか100倍とかをする。
このとき、割り算のルールとして、左側の数(割れる数)にも「絶対に同じ数」をかけてあげる。
そうしてできた新しい式を、いつも通りに計算する。
割り算の場合は、掛け算と違って、最後に小数点を元に戻す必要はないから、変身した後の式で出た答えが、そのまま最終的な答えになる。
筆算のときも同じで、小数点を右に動かしたら、古い点じゃなくて「動かした後の新しい点」の真上に、答えの小数点を打つ。
……これで合っていますか。
まず、小数の割り算が出てきたら、そのまま計算しようとせずに「右側の数(割る数)」を整数に変えることだけを考える。
右側の数を整数にするために、10倍とか100倍とかをする。
このとき、割り算のルールとして、左側の数(割れる数)にも「絶対に同じ数」をかけてあげる。
そうしてできた新しい式を、いつも通りに計算する。
割り算の場合は、掛け算と違って、最後に小数点を元に戻す必要はないから、変身した後の式で出た答えが、そのまま最終的な答えになる。
筆算のときも同じで、小数点を右に動かしたら、古い点じゃなくて「動かした後の新しい点」の真上に、答えの小数点を打つ。
……これで合っていますか。
完璧だよ、ミライくん。何も付け足すことはないくらい、素晴らしいまとめだ。これだけ本質を理解していれば、テストでどんな小数の割り算が出ても、もう迷うことはないね。
ありがとうございます。なんだか、今まであんなに苦手だったのが嘘みたいです。もっと早く先生に聞けばよかったです。
そう言ってもらえると嬉しいよ。中学生の数学は、これから正の数・負の数とか、文字式とか、どんどん新しい概念が出てくるけれど、その土台になっているのは、やっぱり小学校で習った算数んだ。特にこういう「小数の計算」とか「分数の計算」でつまずいていると、中学校の新しい問題のやり方は分かっているのに、最後の計算でバツになっちゃう、というもったいないことがよく起きるんだよね。
あ、まさに僕がそのタイプです。方程式の立て方は分かったのに、最後の計算で小数の割り算が出てきて、そこで間違えてバツになることがよくありました。
そうだろう。だから、今このタイミングで小数の割り算を完璧にできたのは、これからの数学の成績を上げるために、ものすごく大きな一歩なんだよ。自分に自信を持っていい。
はい。これからは計算問題が出てきても、ビクビクせずに「右側を整数にする作戦」で堂々と解いていきます。
その意気だ。じゃあ、最後に今回の内容をしっかりと頭に刻み込むために、一番大事な結論を綺麗にまとめておこう。これをいつでも思い出せるようにしておけば、もう一生小数の割り算で困ることはないからね。
📊 小数同士の割り算の決定的な結論
小数同士の割り算を計算するときは、以下の3つの手順と原則を徹底することで、誰でも確実に、迷うことなく正しい答えを導き出すことができます。
1.右側の数(割る数)を基準に「何倍するか」を決める
小数同士の割り算で最も大切なのは、「右側にある数(割る数)を整数に変えること」です。左側の数は、この段階では小数であっても構いません。
- 右側の数が「〇.〇」のように、小数第一位までなら10倍する。
- 右側の数が「〇.〇〇」のように、小数第二位までなら100倍する。
2.左側の数(割れる数)にも「同じ数」をかける
割り算の大原則として、「割られる数と割る数の両方に同じ数をかけても、計算の答え(商)は変わらない」というルールがあります。
- 右側の数を10倍したなら、左側の数も必ず10倍する。
- 右側の数を100倍したなら、左側の数も必ず100倍する。
- 元々整数だった数であっても、右側の数に合わせて必ず同じだけ倍にする(例:3を10倍して30にする)。
3.変身した後の式を計算し、答えは「そのまま」にする
掛け算の小数の計算とは異なり、割り算では「計算が終わった後に小数点を元に戻す(10や100で割る)必要は一切ありません」。変身させた後の式で出てきた答えが、そのまま元の式の正しい答えになります。
- 筆算を行う場合も、小数点を移動させた後の「新しい小数点」の真上に、答えの小数点を打ちます。古い小数点の位置は完全に無視して構いません。
この「右側を整数にするために両方を同じだけ倍にする」という仕組みさえ掴んでおけば、小数の割り算は実質的に「ただの整数の割り算」へと難易度を下げることができます。もうパズルやおまじなのように小数点を動かすのではなく、明確な理由を持って自信を持って計算を進めてください。
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