【因数分解】(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ を一瞬で解く！置き換えの魔法

三つの三乗が存在する因数分解

佐藤先生

今日はちょっと見た目が強そうな、因数分解の問題に挑戦してみようか。🔥

ミライくん

見た目が強そうって、一体どんな式なんですか。僕、複雑な数式を見るとすぐに頭がフリーズしちゃうんですよね。

佐藤先生

ははは、構えなくても大丈夫だよ。今日解き明かしたいのは、次のような式なんだ。

(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³

これを因数分解して、すっきりした掛け算の形に直してほしいんだ。

ミライくん

うわあ、出ましたね。😱カッコの中に引き算があって、それが全部3乗されている。しかもそれが3つも足されているなんて、見るからに計算が面倒くさそうです。これ、どうすればいいんですか。💦やっぱり、まずは全部バラバラに展開するしかないんでしょうか。

佐藤先生

そうだね。数学の基本として、困ったときは一度展開してバラバラにしてから整理し直す、というのは王道のアプローチだよ。☝️じゃあ、まずはミライくんの言う通り、泥臭く展開していく方法から一緒にやってみようか。💪

ミライくん

うう、覚悟を決めてやってみます。😭ええと、まずは最初のカッコの、

(a-b)³

の展開ですね。これって、3乗の展開公式を使うんですよね。ええと、公式は何だっけ。

佐藤先生

忘れてしまったときは、2乗の展開から思い出してみるといいよ。💡2乗のときは、

(a-b)² = a² - 2ab + b²

だったよね。3乗になると、係数が変わって、文字の次数も変わるんだ。公式を書いておくね。

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

ミライくん

あ、そうでした。思い出しました。💡真ん中の係数が3になるんですよね。でも、符号が+だったり-だったりして、いつもごちゃごちゃになっちゃうんです。😢

佐藤先生

符号の覚え方にはコツがあるんだよ。これは、後ろにある -b を何回掛けたかで決まるんだ。
1項目は a を3回掛けているから+。
2項目は a を2回、-b を1回掛けているから、- が1回（奇数個）で-。
3項目は a を1回、-b を2回掛けているから、- が2回（偶数個）で+。
4項目は -b を3回掛けているから、- が3回（奇数個）で-。
こう考えると、暗記しなくても符号が+、-、+、-と交互に出てくる理由が分かるでしょ。

ミライくん

なるほど。 -b を何回掛けたかで符号が決まるんですね。✨それなら納得です。それじゃあ、この公式を使って、残りの2つのカッコも展開してみます。
2つのカッコは、

(b-c)³ = b³ - 3b²c + 3bc² - c³

になりますね。文字が b と c に変わっただけです。
3つ目のカッコは、c と a だから、

(c-a)³ = c³ - 3c²a + 3ca² - a³

になります。これで3つのパーツが全部展開できました。🙌

佐藤先生

素晴らしい。完璧な展開だよ。じゃあ、この3つのパーツを全部足し合わせてみよう。元の式に代入して、一本の長い式にしてみるんだ。🔍

ミライくん

はい。全部をそのまま横に並べて足してみますね。

(a³ - 3a²b + 3ab² - b³) + (b³ - 3b²c + 3bc² - c³) + (c³ - 3c²a + 3ca² - a³)

うわ、ものものしく長くなっちゃいました。💦これ、本当に綺麗になるんですか。🤨

佐藤先生

じっくり見てごらん。🕵️‍♂️同じ文字の3乗に注目すると、面白いことが起きているよ。⭐

ミライくん

あ、本当だ。最初の方に+の a の3乗があって、一番最後に-の a の3乗があります。これ、足したら0になって消えますね。

佐藤先生

その通り。他の文字はどうかな。

ミライくん

-の b の3乗と、+の b の3乗もあるから、これも消えます。それから、-の c の3乗と、+の c の3乗もある。これも消えますね。

佐藤先生

素晴らしい。3乗の項がすべて綺麗に消えてしまったね。じゃあ、生き残った項だけを書き出してみてくれるかい。📝

ミライくん

はい。残ったのは、次の6つの項ですね。

-3a²b + 3ab² - 3b²c + 3bc² - 3c²a + 3ca²

3乗が消えただけでもずいぶんスッキリしましたけど、まだ文字が散らかっていて、ここからどうやって因数分解すればいいのか分かりません。

佐藤先生

ここからが因数分解の腕の見せ所だよ。たくさんの文字が混ざった複雑な式を因数分解するときの鉄則を覚えているかな。

ミライくん

ええと、確か、一番次数が低い文字に注目して整理する、でしたっけ。🤔

佐藤先生

大正解。よく覚えていたね。今回は、a、b、c という3つの文字があるけれど、それぞれの文字の最高次数はいくつになっているかな。

ミライくん

どれを見ても、2乗が最高ですね。a の2乗もあるし、b の2乗もあるし、c の2乗もある。全部同じ2次式です。

佐藤先生

そうだね。どの文字に注目しても次数が同じときは、基本に則って、アルファベット順の一番最初である a について整理していくのが一番迷わないよ。つまり、全体の式を、a の2乗が含まれるグループ、a だけが含まれるグループ、そして a がまったく含まれないグループの3つに分類するんだ。

ミライくん

なるほど。じゃあ、まずは a の2乗が入っている項を探してみます。
式の中で a の2乗があるのは、

-3a²b

と

3ca²

の2つですね。これを a の2乗でくくってみます。

(-3b + 3c)a²

となります。

佐藤先生

いいね。👍ただ、この後の計算を見据えて、共通している数字の3も前に出しておこう。さらに、先頭に-があると後で計算しにくくなることが多いから、-3でくくってみるとどうなるかな。

ミライくん

-3でくくるんですね。やってみます。

-3(b - c)a²

こうですか。カッコの中の符号がひっくり返るから、+の3cだったところが-cになるんですね。

佐藤先生

その通り。次は、a が1つだけ含まれる1次の項を探して、同じように a でくくってみよう。

ミライくん

a が1つだけある項は、

3ab²

と

-3c²a

の2つです。これを3と a でくくってみます。

3(b² - c²)a

となりました。

佐藤先生

バッチリだ。ここで、カッコの中の、

b² - c²

という形を見て、何か気づくことはないかい。

ミライくん

あ、これは2乗-2乗の形だから、因数分解の公式が使えます。

(b - c)(b + c)

に分解できますね。

佐藤先生

そう。だから、a の1次の項のグループは、最終的に、

3(b - c)(b + c)a

という形に変形できるんだ。これは後で大きな意味を持ってくるからね。じゃあ最後に、a がまったく含まれていない、残りの項のグループを整理しよう。

ミライくん

a が含まれていないのは、

-3b²c + 3bc²

の2つです。これは何でくくればいいのかな。共通しているのは3と b と c だから、3bcでくくってみます。先頭が-だから、これも-3bcでくくったほうがいいですか。🤔

佐藤先生

うん、そのほうが先ほどの流れと揃って綺麗になるよ。やってごらん。

ミライくん

-3bcでくくると、

-3bc(b - c)

になります。カッコの中がまた b-c になりました。

佐藤先生

よくできました。これで、a の2乗の項、a の項、定数の項の3つがすべて整理できたね。これらをもう一度一本の式に繋げて書いてみよう。

ミライくん

はい。整理したものを並べます。

-3(b - c)a² + 3(b - c)(b + c)a - 3bc(b - c)

あ、先生。すごいことに気づしました。3つの塊のどれを見ても、共通して、

3(b - c)

が入っています。あ、正確には-がついているものもありますけど。

佐藤先生

そこに気づければ勝負ありだよ。式全体に共通する因数のことを共通因数と言うけれど、今回はすべての塊に、

3(b - c)

が含まれているよね。全体を、この共通因数で大きくくくり出してしまおう。今回は先頭の-も一緒に処理したいから、

-3(b - c)

を丸ごと外に引っ張り出してみようか。

ミライくん

やってみます。大きな中カッコを使って書けばいいんですよね。

-3(b - c) { a² - (b + c)a + bc }

ええと、2番目の塊はもともと+の3だったから、-3を外に出したことで、中カッコの中では-に変わるんですよね。だから、-(b + c)a になりました。3番目の塊は-3bcだったから、-3が消えて+の bc が残りました。これで合っていますか。

佐藤先生

大正解。符号の変化も完璧に捉えられているよ。さあ、いよいよ大詰めだ。🔥中カッコの中にある、

a² - (b + c)a + bc

という式をよく見てほしい。これは、a についての2次式だよね。足して、

-(b + c)

になり、掛けて、

bc

になるような2つの数、あるいは文字の組み合わせを探す因数分解だよ。

ミライくん

足して-(b + c)、掛けて bc ですか。うーん、文字が入っているから難しく見えるけど、掛けて bc になる組み合わせって、b と c の掛け算そのものですよね。🧐

佐藤先生

そうだよ。あとは足したときに-になるように符号を調節すればいいんだ。💡

ミライくん

そうか。両方に-をつければいいんだ。-b と -c なら、掛けたら+の bc になるし、足したら、

-b + (-c) = -(b + c)

になります。ぴったりです。✨

佐藤先生

その通り。ということは、この中カッコの中身はどのように因数分解できるかな?

ミライくん

ええと、x の因数分解と同じように考えればいいから、

(a - b)(a - c)

になります。

佐藤先生

素晴らしい。じゃあ、外に出していた共通因数と合体させて、全体の式を書いてみよう。✍️

-3(b - c)(a - b)(a - c)

ミライくん

できました。これが答えですね。やったあ、あんなに長かった式が、ちゃんと掛け算の形になりました。🎉

佐藤先生

お見事。👏👏ただね、数学の世界では、答えの見た目をさらに美しく整える習慣があるんだ。アルファベットが、a から b、b から c、c から a、というように、円を描くように循環して並ぶのを輪環の順と言うんだ。今のままだと、最後のカッコが、

a - c

になっていて、ちょっと順番が逆流しているよね。これを、

c - a

に変えたいんだ。

ミライくん

勝手に中身の順番を変えちゃっていいんですか。

佐藤先生

そのまま変えたら符号が変わってしまうよね。

a - c = -(c - a)

だから、カッコの中から-を1つ外に引っ張り出すんだ。そうすると、式の先頭に元からあった-と、新しく出てきた-が打ち消し合って+になる。

ミライくん

なるほど。先頭の-が消えてくれるんですね。じゃあ、カッコの順番もアルファベットの循環に合わせて並び替えると、

3(a - b)(b - c)(c - a)

になります。

佐藤先生

その通り。これが美しく整えられた最終的な答えだよ。

ミライくん

ふう、解けました。でも先生、これ、展開して、a について整理して、共通因数でくくって、また因数分解して、最後に符号を整えてって、ステップが多すぎてめちゃくちゃ大変です。もしテストに出たら、途中で計算ミスをしちゃいそうです。

佐藤先生

そうだよね。🥺今やった方法は、確かに確実だけど時間がかかるし、エネルギーも使う。そこでだ。数学の専門家や、数学が得意な人たちが、この問題をどうやって一瞬で解いているか、その秘密のテクニックを知りたくないかい。

ミライくん

えっ、一瞬で解く方法があるんですか。😮ぜひ教えてください。あの苦労は何だったんだってなりそうですけど、ラクに解けるなら絶対にそっちの方がいいです。

佐藤先生

よし、じゃあここからは、まったく違うアプローチ、置き換えという魔法を使ったきれいな解き方を解説しよう。もう一度、最初の式を見てみよう。🔍

(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³

この式の特徴は、カッコの中の中身がそれぞれ少しずつ繋がっていることなんだ。🔗ここで、それぞれのカッコの中身を、一つの大きな文字に置き換えてみよう。
具体的には、

X = a - b

Y = b - c

Z = c - a

とおいてみるんだ。そうすると、元の式はどう書き換えられるかな？

ミライくん

ええと、そのまま大きな文字に置き換えるだけだから、

X³ + Y³ + Z³

になります。うわ、めちゃくちゃシンプルになりましたね。でも、これだけだと、ここからどう因数分解すればいいかやっぱり分かりません。

佐藤先生

ここで、置き換えた3つの文字、X、Y、Z の間に隠された、ものすごく重大な秘密の関係性に気づしなければいけないんだ。この3つの文字を、全部足してみたらどうなると思う？

ミライくん

全部足すんですか。計算してみます。

X + Y + Z = (a - b) + (b - c) + (c - a)

かっこを外して並べると、

a - b + b - c + c - a

あ。

佐藤先生

何かに気づしたかい？

ミライくん

あ。a と -a があるから消える。-b と b があるから消える。-c と c があるから消える。これ、全部消えて0になります。

X + Y + Z = 0

になります！

佐藤先生

そうなんだ。これがこの問題の最大の鍵んだよ。3つの文字を足すと、リレーのバトンが一周して戻ってくるように、綺麗に相殺されて0になる。この、

X + Y + Z = 0

という条件があるとき、3乗の和である、

X³ + Y³ + Z³

がどうなるか、というお話なんだ。実は、数学にはこのような素晴らしい公式があるんだよ。

X³ + Y³ + Z³ - 3XYZ = (X + Y + Z)(X² + Y² + Z² - XY - YZ - ZX)

ミライくん

うわあ、何ですかその長い公式は。😱そんなの見ただけでクラクラしちゃいます。😵覚えられる気がしません。💦

佐藤先生

そうだね、この公式を丸暗記しようとすると大変だ。😥でも、今回は、

X + Y + Z = 0

という最強の武器がある。この公式の右辺の最初のカッコを見てごらん。

X + Y + Z

になっているよね。ここが0になるということは、右辺全体はどうなる？

ミライくん

あ。💡0に何を掛けても0だから、右辺の長いカッコの部分が丸ごと消えて、右辺全体が0になっちゃいます。✨

佐藤先生

その通り。つまり、公式はこういうシンプルな形になるんだ。

X³ + Y³ + Z³ - 3XYZ = 0

この式の、-3XYZ を右辺に移項してみると、どうなる？

ミライくん

移項すると符号が変わるから、

X³ + Y³ + Z³ = 3XYZ

になります。ええっ。これ、本当ですか。😲

佐藤先生

本当だよ。😊3つの数を足して0になるときは、それぞれの3乗を足したものは、元の3つの数を掛け合わせて3倍したものと完全に一致するんだ。

ミライくん

すごいです。✨あんなに複雑だった3乗の足し算が、ただの掛け算になっちゃいました。

佐藤先生

公式をそのまま使うのが少し不安なら、この関係を自分ではじき出す方法もあるよ。せっかくだから、なぜこの関係が成り立つのか、公式を使わずに導いてみよう。
まず、

X + Y + Z = 0

から、Z を右辺に移項して、

X + Y = -Z

とする。この両辺を3乗してみるんだ。左辺の3乗は、さっきミライくんがやってくれた展開公式が使えるよね。

ミライくん

はい。やってみます。💪

(X + Y)³ = (-Z)³

を展開すると、

X³ + 3X²Y + 3XY² + Y³ = -Z³

となります。

佐藤先生

いいね。👍ここで、左辺の真ん中にある2つの項を、共通因数の3XYでくくってみよう。

ミライくん

真ん中の2つを3XYでくくるんですね。

X³ + 3XY(X + Y) + Y³ = -Z³

こうですか？

佐藤先生

そう。ここで、さっきの、

X + Y = -Z

という関係を思い出してほしい。この式のカッコの中にある、

X + Y

の部分に、-Z を代入することができるよね。

ミライくん

a、なるほど。置き換えるんですね。代入してみます。

X³ + 3XY(-Z) + Y³ = -Z³

真ん中の掛け算を整理すると、

X³ - 3XYZ + Y³ = -Z³

になります。

佐藤先生

素晴らしい。👏👏じゃあ、左辺にある -3XYZ を右辺に移項して、右辺にある -Z の3乗を左辺に移項してみよう。

ミライくん

両方を入れ替えるんですね。符号に気をつけて。

X³ + Y³ + Z³ = 3XYZ

わあ。本当に公式を使わなくても、同じ式が作れました。🎉

佐藤先生

素晴らしい。これで、

X³ + Y³ + Z³

という式が、

3XYZ

に変形できることが、完全に納得できたね。✨

ミライくん

はい。🙌自分で計算して導けたので、すごくスッキリしました。🌟

佐藤先生

じゃあ、仕上げだ。🔥僕たちが本当に解きたかったのは、X や Y の式ではなくて、a、b、c の式だったよね。✍️だから、この、

3XYZ

の文字を、元の式に戻してあげるんだ。X、Y、Z はそれぞれ何だったかな？

ミライくん

ええと、

X = a - b

Y = b - c

Z = c - a

でした。これをそのまま当てはめると、

3(a - b)(b - c)(c - a)

になります。あ。😲

佐藤先生

どうだい。さっき、あれだけ苦労して長い展開と因数分解を繰り返して、最後に符号の調整までしてやっと辿り着いた答えと、まったく同じになっただろう。

ミライくん

本当だ。同じです。✨こっちの方法なら、途中で長い展開を一切していないし、置き換えて足したら0になることに気づだけで、ほとんど一瞬で答えが出ちゃいました。数学って、工夫するだけでこんなに計算がラクになるんですね。

佐藤先生

そうんだ。☝️ただがむしゃらに計算するだけではなくて、式全体のカタチや特徴をじっくり観察して、隠されたルールを見つけること。これが数学の醍醐味であり、専門家がいつも考えていることなんだよ。今回の問題は、3乗の和という一見すると恐しい姿をしていたけれど、中身の文字を足すと0になるという美しい調和が隠されていたんだね。

ミライくん

なんだか、パズルを解いたときみたいな爽快感があります。これなら、次から同じような問題が出ても、怖がらずにニヤリとしながら解けそうです。

佐藤先生

その意気だよ。🔥この置き換えの感覚を忘れないように、しっかりと頭に刻み込んでおいてね。よく頑張りました。

結論

今回の問題である、

の因数分解は、式を愚直に展開するのではなく、それぞれのカッコ内を別の文字に置き換えることで、劇的にシンプルに解くことができます。

解法のステップは以下の通りです。

１．文字の置き換え

カッコ内をそれぞれ次のように置きます。

これにより、与えられた式は次のようにシンプルな3乗の和の形になります。

２．隠された関係性の発見

置き換えた3つの文字をすべて足し合わせると、すべての文字が相殺し合って0になります。

３．3乗の和の公式の適用

3つの数の和が0、すなわち X + Y + Z = 0 であるとき、次の重要な因数分解の性質が成り立ちます。

この性質は、公式 X³ + Y³ + Z³ - 3XYZ = (X + Y + Z)(X² + Y² + Z² - XY - YZ - ZX) の X + Y + Z に 0 を代入すること、あるいは X + Y = -Z の両辺を3乗して整理することで導かれます。

４．元の文字への復元

得られた 3XYZ に、最初に置き換えた文字をそのまま戻します。

これが、求める因数分解の最終的な答えとなります。

このように、複雑な3乗の足し算の式であっても、中身の和が0になるという性質を見抜くことで、一切の複雑な展開計算をすることなく、一瞬で美しい掛け算の形に因数分解することができます。